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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Fünfte Vorlesung.

Exempel für Klassen.

Wenn die Aussage wahr ist: "Alles der Wirklichkeit 1 Agehörige ist
ein Räumliches a (d. i. irgendwo vorhanden sei es gewesen, sei es gegen-
wärtig existirend oder künftig in's Dasein tretend) und ein Zeitliches b
(irgendwann vorhanden)", so gelten auch die beiden Aussagen: "Alles Wirk-
liche ist als ein Räumliches irgendwo vorhanden (sc. gewesen, existirend
oder künftig)" und: "Alles Wirkliche ist als ein Zeitliches irgendwann vor-
handen". Und umgekehrt ziehen diese beiden letzteren Sätze den vorher-
gehenden nach sich.

Der Satz: "Es gibt keine Drachen, Hexen und Gespenster" sagt das-
selbe, wie die drei Sätze: "Es gibt keine Drachen". "Es gibt keine Hexen".
"Es gibt keine Gespenster".

25) Die beweisbare Subsumtion des Distributionsgesetzes.
Es ist allgemein:

25x) Theorem.	25+) Theorem.
a b + a c a (b + c).	a + b c (a + b) (a + c).

Ich gebe für diese Sätze zwei ganz verschiedene Beweise.

Beweis 1. Nach 6+) ist:	Beweis 1. Nach 6x) ist:
b b + c und c b + c	b c b und b c c
somit nach 15x):	somit nach 15+):
a b a (b + c), a c a (b + c).	a + b c a + b, a + b c a + c,
Hieraus aber folgt nach Def. (3+) der zu beweisende Satz.	und hieraus folgt nach Def. (3x) die zu beweisende Subsumtion.
Beweis 2. Nach 6x) ist:	Beweis 2. Nach 6+) ist:
a b a und a c a,	a a + b und a a + c,
woraus nach Def. (3+):	woraus nach Def. (3x):
a b + a c a.	a (a + b) (a + c).
Analog ist:	Analog ist:
a b b und a c c	b a + b, c a + c
sonach gemäss 18+):	somit nach 18x):
a b + a c b + c	b c (a + b) (a + c)
Aus dem vorigen Ergebniss in Verbindung mit diesem fliesst nach Def.(3x) die behauptete Subsumtion.	Aus den gewonnenen beiden Re- sultaten fliesst nach Def. (3+) der zu beweisende Satz.

Zusätze. Wieder gestattet uns das Kommutationsgesetz, in den
bewiesenen Formeln sowol Faktoren als Glieder beliebig umzustellen,
und dadurch denselben noch andere Gestalten zu geben. Namentlich
sei hervorgehoben, dass auch:

Fünfte Vorlesung.

Exempel für Klassen.

Wenn die Aussage wahr ist: „Alles der Wirklichkeit 1 Agehörige ist
ein Räumliches a (d. i. irgendwo vorhanden sei es gewesen, sei es gegen-
wärtig existirend oder künftig in's Dasein tretend) und ein Zeitliches b
(irgendwann vorhanden)“, so gelten auch die beiden Aussagen: „Alles Wirk-
liche ist als ein Räumliches irgendwo vorhanden (sc. gewesen, existirend
oder künftig)“ und: „Alles Wirkliche ist als ein Zeitliches irgendwann vor-
handen“. Und umgekehrt ziehen diese beiden letzteren Sätze den vorher-
gehenden nach sich.

Der Satz: „Es gibt keine Drachen, Hexen und Gespenster“ sagt das-
selbe, wie die drei Sätze: „Es gibt keine Drachen“. „Es gibt keine Hexen“.
„Es gibt keine Gespenster“.

25) Die beweisbare Subsumtion des Distributionsgesetzes.
Es ist allgemein:

25×) Theorem.	25+) Theorem.
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Ich gebe für diese Sätze zwei ganz verschiedene Beweise.

Beweis 1. Nach 6+) ist:	Beweis 1. Nach 6×) ist:
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[280/0300] Fünfte Vorlesung. Exempel für Klassen. Wenn die Aussage wahr ist: „Alles der Wirklichkeit 1 Agehörige ist ein Räumliches a (d. i. irgendwo vorhanden sei es gewesen, sei es gegen- wärtig existirend oder künftig in's Dasein tretend) und ein Zeitliches b (irgendwann vorhanden)“, so gelten auch die beiden Aussagen: „Alles Wirk- liche ist als ein Räumliches irgendwo vorhanden (sc. gewesen, existirend oder künftig)“ und: „Alles Wirkliche ist als ein Zeitliches irgendwann vor- handen“. Und umgekehrt ziehen diese beiden letzteren Sätze den vorher- gehenden nach sich. Der Satz: „Es gibt keine Drachen, Hexen und Gespenster“ sagt das- selbe, wie die drei Sätze: „Es gibt keine Drachen“. „Es gibt keine Hexen“. „Es gibt keine Gespenster“. 25) Die beweisbare Subsumtion des Distributionsgesetzes. Es ist allgemein: 25×) Theorem. 25+) Theorem. a b + a c ⋹ a (b + c). a + b c ⋹ (a + b) (a + c). Ich gebe für diese Sätze zwei ganz verschiedene Beweise. Beweis 1. Nach 6+) ist: Beweis 1. Nach 6×) ist: b ⋹ b + c und c ⋹ b + c b c ⋹ b und b c ⋹ c somit nach 15×): somit nach 15+): a b ⋹ a (b + c), a c ⋹ a (b + c). a + b c ⋹ a + b, a + b c ⋹ a + c, Hieraus aber folgt nach Def. (3+) der zu beweisende Satz. und hieraus folgt nach Def. (3×) die zu beweisende Subsumtion. Beweis 2. Nach 6×) ist: Beweis 2. Nach 6+) ist: a b ⋹ a und a c ⋹ a, a ⋹ a + b und a ⋹ a + c, woraus nach Def. (3+): woraus nach Def. (3×): a b + a c ⋹ a. a ⋹ (a + b) (a + c). Analog ist: Analog ist: a b ⋹ b und a c ⋹ c b ⋹ a + b, c ⋹ a + c sonach gemäss 18+): somit nach 18×): a b + a c ⋹ b + c b c ⋹ (a + b) (a + c) Aus dem vorigen Ergebniss in Verbindung mit diesem fliesst nach Def.(3×) die behauptete Subsumtion. Aus den gewonnenen beiden Re- sultaten fliesst nach Def. (3+) der zu beweisende Satz. Zusätze. Wieder gestattet uns das Kommutationsgesetz, in den bewiesenen Formeln sowol Faktoren als Glieder beliebig umzustellen, und dadurch denselben noch andere Gestalten zu geben. Namentlich sei hervorgehoben, dass auch:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 280. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/300>, abgerufen am 22.11.2024.

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