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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Fünfte Vorlesung.

Ein Produkt kann nicht anders gleich 1 werden, als indem jeder Faktor desselben gleich 1 wird.	Eine Summe kann nur dann ver- schwinden, wenn ihre Glieder sämt- lich gleich 0 werden.
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):	Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
1 a b,	a + b 0.
und da nach Th. 6x)	Aber nach Th. 6+) ist
a b a	a a + b,
ist, so folgt nach II auch:	folglich nach II:
1 a,	a 0,
somit nach Th. 5+):	nach Th. 5x) also
1 = a.	a = 0.
Analog beweist man auch, dass 1 = b ist; zudem folgt dies nach 21x) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem schon a = 1 be- wiesen ist.	Analog beweist man auch, dass b = 0 ist; desgl. folgt dies nach 21+) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem bereits a = 0 be- wiesen ist.

Beweis 2. Nach Def. (3x) resp. (3+)
sagt die Subsumtion

1 a b

a + b 0

ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:

1 a nebst 1 b

a 0 nebst b 0

zusammen, und nach Th. 5x) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle
drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm
zu beweisenden Satze.

Beweis 3. Beiderseitige Addi- tion von a zu der Voraussetzung nach 15+) gibt wegen 22+):	Beweis 3. Multiplikation der Voraussetzung beiderseits mit a gemäss 15x) gibt wegen 22x):
1 = a b + a	a (a + b) = 0,
also nach 23+):	also nach 23x):
1 = a,	a = 0,
etc.	etc.

Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen
in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben)
durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können.

Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt

Fünfte Vorlesung.

Ein Produkt kann nicht anders gleich 1 werden, als indem jeder Faktor desselben gleich 1 wird.	Eine Summe kann nur dann ver- schwinden, wenn ihre Glieder sämt- lich gleich 0 werden.
Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):	Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1):
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Analog beweist man auch, dass 1 = b ist; zudem folgt dies nach 21×) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem schon a = 1 be- wiesen ist.	Analog beweist man auch, dass b = 0 ist; desgl. folgt dies nach 21+) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem bereits a = 0 be- wiesen ist.

Beweis 2. Nach Def. (3×) resp. (3+)
sagt die Subsumtion

1 ⋹ a b

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ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen:

1 ⋹ a nebst 1 ⋹ b

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zusammen, und nach Th. 5×) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle
drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm
zu beweisenden Satze.

Beweis 3. Beiderseitige Addi- tion von a zu der Voraussetzung nach 15+) gibt wegen 22+):	Beweis 3. Multiplikation der Voraussetzung beiderseits mit a gemäss 15×) gibt wegen 22×):
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etc.	etc.

Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen
in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben)
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Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt

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[278/0298] Fünfte Vorlesung. Ein Produkt kann nicht anders gleich 1 werden, als indem jeder Faktor desselben gleich 1 wird. Eine Summe kann nur dann ver- schwinden, wenn ihre Glieder sämt- lich gleich 0 werden. Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1): Beweis 1. Laut Voraussetzung ist nach Def. (1): 1 ⋹ a b, a + b ⋹ 0. und da nach Th. 6×) Aber nach Th. 6+) ist a b ⋹ a a ⋹ a + b, ist, so folgt nach II auch: folglich nach II: 1 ⋹ a, a ⋹ 0, somit nach Th. 5+): nach Th. 5×) also 1 = a. a = 0. Analog beweist man auch, dass 1 = b ist; zudem folgt dies nach 21×) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem schon a = 1 be- wiesen ist. Analog beweist man auch, dass b = 0 ist; desgl. folgt dies nach 21+) als Rückstand aus der Voraus- setzung, nachdem bereits a = 0 be- wiesen ist. Beweis 2. Nach Def. (3×) resp. (3+) sagt die Subsumtion 1 ⋹ a b a + b ⋹ 0 ganz das nämliche aus, wie die beiden Subsumtionen: 1 ⋹ a nebst 1 ⋹ b a ⋹ 0 nebst b ⋹ 0 zusammen, und nach Th. 5×) resp. 5+) sind diese Subsumtionen alle drei je für sich äquivalent den entsprechenden Gleichungen in unserm zu beweisenden Satze. Beweis 3. Beiderseitige Addi- tion von a zu der Voraussetzung nach 15+) gibt wegen 22+): Beweis 3. Multiplikation der Voraussetzung beiderseits mit a gemäss 15×) gibt wegen 22×): 1 = a b + a a (a + b) = 0, also nach 23+): also nach 23×): 1 = a, a = 0, etc. etc. Anmerkung. Nach Th. 5) hätten auch die Gleichheitszeichen in der Voraussetzung unseres Satzes (desgleichen überall in demselben) durch das Subsumtionszeichen ersetzt werden können. Mit Beweis 1 konnte das Theorem schon viel früher aufgeführt

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 278. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/298>, abgerufen am 22.11.2024.

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