Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12) auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15x) noch die Formen: Wenn ab, so ist auch a cc b, desgleichen c ab c, desgl. endlich c ac b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt- lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim- menden Summanden derselben ohne weiteres "streichen", den Faktor aller- dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider- seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm- lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von a c = b c oder a + c = b + c auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
[Abbildung]
Fig. 14x.
[Abbildung]
Fig. 14+.
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind die gleichwinkligen Dreiecke, aber es ist nicht: gleichseitig einerlei mit gleichwinklig -- der Rhombus z. B. ersteres ohne das letztere. Die schwerste Substanz ist das schwerste *) Metall, doch ist nicht: Substanz = Metall.
Die Primzahlen nebst den unge- raden Zahlen ist dasselbe wie die Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen. Gleichwol ist die Klasse der Prim- zahlen nicht identisch mit der Zahl 2, sondern greift noch weit über dieses allerdings in ihr enthaltene Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat "schwerste" genau so wie im Subjekte versteht als "schwerer wie die übrigen Substanzen" und nicht blos als "schwerer wie die übrigen Metalle" bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
Fünfte Vorlesung.
Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12) auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15×) noch die Formen: Wenn a ⋹ b, so ist auch a c ⋹ c b, desgleichen c a ⋹ b c, desgl. endlich c a ⋹ c b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt- lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim- menden Summanden derselben ohne weiteres „streichen“, den Faktor aller- dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider- seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm- lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von a c = b c oder a + c = b + c auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
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Fig. 14×.
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Fig. 14+.
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind die gleichwinkligen Dreiecke, aber es ist nicht: gleichseitig einerlei mit gleichwinklig — der Rhombus z. B. ersteres ohne das letztere. Die schwerste Substanz ist das schwerste *) Metall, doch ist nicht: Substanz = Metall.
Die Primzahlen nebst den unge- raden Zahlen ist dasselbe wie die Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen. Gleichwol ist die Klasse der Prim- zahlen nicht identisch mit der Zahl 2, sondern greift noch weit über dieses allerdings in ihr enthaltene Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat „schwerste“ genau so wie im Subjekte versteht als „schwerer wie die übrigen Substanzen“ und nicht blos als „schwerer wie die übrigen Metalle“ bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
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Fünfte Vorlesung.
Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12)
auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man
diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15×) noch die
Formen: Wenn a ⋹ b, so ist auch a c ⋹ c b, desgleichen c a ⋹ b c, desgl.
endlich c a ⋹ c b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von
den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr
ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt-
lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden
Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim-
menden Summanden derselben ohne weiteres „streichen“, den Faktor aller-
dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die
Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider-
seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit
des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm-
lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der
arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen
des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem
Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt
sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von
a c = b c oder a + c = b + c
auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b
die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
[Abbildung Fig. 14×.]
[Abbildung Fig. 14+.]
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind
die gleichwinkligen Dreiecke, aber es
ist nicht: gleichseitig einerlei mit
gleichwinklig — der Rhombus z. B.
ersteres ohne das letztere. Die
schwerste Substanz ist das schwerste *)
Metall, doch ist nicht: Substanz =
Metall. Die Primzahlen nebst den unge-
raden Zahlen ist dasselbe wie die
Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen.
Gleichwol ist die Klasse der Prim-
zahlen nicht identisch mit der Zahl
2, sondern greift noch weit über
dieses allerdings in ihr enthaltene
Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat „schwerste“ genau so wie im Subjekte
versteht als „schwerer wie die übrigen Substanzen“ und nicht blos als „schwerer
wie die übrigen Metalle“ bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 266. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/286>, abgerufen am 09.05.2024.
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