Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12) auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15x) noch die Formen: Wenn ab, so ist auch a cc b, desgleichen c ab c, desgl. endlich c ac b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt- lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim- menden Summanden derselben ohne weiteres "streichen", den Faktor aller- dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider- seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm- lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von a c = b c oder a + c = b + c auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
[Abbildung]
Fig. 14x.
[Abbildung]
Fig. 14+.
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind die gleichwinkligen Dreiecke, aber es ist nicht: gleichseitig einerlei mit gleichwinklig -- der Rhombus z. B. ersteres ohne das letztere. Die schwerste Substanz ist das schwerste *) Metall, doch ist nicht: Substanz = Metall.
Die Primzahlen nebst den unge- raden Zahlen ist dasselbe wie die Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen. Gleichwol ist die Klasse der Prim- zahlen nicht identisch mit der Zahl 2, sondern greift noch weit über dieses allerdings in ihr enthaltene Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat "schwerste" genau so wie im Subjekte versteht als "schwerer wie die übrigen Substanzen" und nicht blos als "schwerer wie die übrigen Metalle" bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
Fünfte Vorlesung.
Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12) auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15×) noch die Formen: Wenn a ⋹ b, so ist auch a c ⋹ c b, desgleichen c a ⋹ b c, desgl. endlich c a ⋹ c b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt- lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim- menden Summanden derselben ohne weiteres „streichen“, den Faktor aller- dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider- seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm- lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von a c = b c oder a + c = b + c auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
[Abbildung]
Fig. 14×.
[Abbildung]
Fig. 14+.
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind die gleichwinkligen Dreiecke, aber es ist nicht: gleichseitig einerlei mit gleichwinklig — der Rhombus z. B. ersteres ohne das letztere. Die schwerste Substanz ist das schwerste *) Metall, doch ist nicht: Substanz = Metall.
Die Primzahlen nebst den unge- raden Zahlen ist dasselbe wie die Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen. Gleichwol ist die Klasse der Prim- zahlen nicht identisch mit der Zahl 2, sondern greift noch weit über dieses allerdings in ihr enthaltene Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat „schwerste“ genau so wie im Subjekte versteht als „schwerer wie die übrigen Substanzen“ und nicht blos als „schwerer wie die übrigen Metalle“ bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0286"n="266"/><fwplace="top"type="header">Fünfte Vorlesung.</fw><lb/><p><hirendition="#g">Anmerkung</hi> 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12)<lb/>
auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man<lb/>
diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15<hirendition="#sub">×</hi>) noch die<lb/>
Formen: Wenn <hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">b</hi>, so ist auch <hirendition="#i">a c</hi>⋹<hirendition="#i">c b</hi>, desgleichen <hirendition="#i">c a</hi>⋹<hirendition="#i">b c</hi>, desgl.<lb/>
endlich <hirendition="#i">c a</hi>⋹<hirendition="#i">c b</hi>. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von<lb/>
den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr<lb/>
ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.</p><lb/><p><hirendition="#g">Anmerkung</hi> 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt-<lb/>
lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden<lb/>
Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim-<lb/>
menden Summanden derselben ohne weiteres <hirendition="#i">„streichen“</hi>, den Faktor aller-<lb/>
dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die<lb/>
Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider-<lb/>
seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit<lb/>
des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm-<lb/>
lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der<lb/>
arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen<lb/>
des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem<lb/>
Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt<lb/>
sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a c</hi> = <hirendition="#i">b c oder a</hi> + <hirendition="#i">c</hi> = <hirendition="#i">b</hi> + <hirendition="#i">c</hi></hi><lb/>
auf <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">b</hi> nicht zulässig sein wird.</p><lb/><p>Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi><lb/>
die Kreisflächen, dagegen <hirendition="#i">c</hi> das schraffirte Gebiet vorstellt:<lb/><table><row><cell><figure><head>Fig. 14<hirendition="#sub">×</hi>.</head></figure></cell><cell><lb/><figure><head>Fig. 14<hirendition="#sub">+</hi>.</head></figure></cell></row><lb/></table> Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:<lb/><table><row><cell>Die gleichseitigen Dreiecke sind<lb/><hirendition="#i">die</hi> gleichwinkligen Dreiecke, aber es<lb/>
ist nicht: gleichseitig einerlei mit<lb/>
gleichwinklig — der Rhombus z. B.<lb/>
ersteres ohne das letztere. Die<lb/>
schwerste Substanz ist das schwerste <noteplace="foot"n="*)">Auch wenn man hier im Prädikat „schwerste“ genau so wie im Subjekte<lb/>
versteht als „schwerer wie die übrigen <hirendition="#i">Substanzen</hi>“ und nicht blos als „schwerer<lb/>
wie die übrigen <hirendition="#i">Metalle</hi>“ bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).</note><lb/>
Metall, doch ist nicht: Substanz =<lb/>
Metall.</cell><cell>Die Primzahlen nebst den unge-<lb/>
raden Zahlen ist dasselbe wie die<lb/>
Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen.<lb/>
Gleichwol ist die Klasse der Prim-<lb/>
zahlen nicht identisch mit der Zahl<lb/>
2, sondern greift noch weit über<lb/>
dieses allerdings in ihr enthaltene<lb/>
Zahlindividuum hinaus. U. a. m.</cell></row><lb/></table></p></div></div></body></text></TEI>
[266/0286]
Fünfte Vorlesung.
Anmerkung 1. Durch Anwendung des Kommutationsgesetzes 12)
auf die Behauptung in den beiden Theoremen 15) und 16) kann man
diesen noch verschiedene Formen geben. Z. B. dem Th. 15×) noch die
Formen: Wenn a ⋹ b, so ist auch a c ⋹ c b, desgleichen c a ⋹ b c, desgl.
endlich c a ⋹ c b. Doch werden wir Sätze, die sich so unwesentlich von
den aufgestellten unterscheiden, künftig nicht mehr mit anführen, vielmehr
ohne weiteres als zugleich mit jenen gegeben betrachten.
Anmerkung 2. In der Arithmetik dürfen die beiden Sätze bekannt-
lich auch umgekehrt werden. Man darf daselbst einen übereinstimmenden
Faktor der beiden Seiten einer Gleichung, desgleichen einen übereinstim-
menden Summanden derselben ohne weiteres „streichen“, den Faktor aller-
dings nur, wenn er von 0 verschieden ist. Es kommt dies hinaus auf die
Division der Gleichung durch den gedachten Faktor resp. auf die beider-
seitige Subtraktion des gedachten Summanden, und beruht die Zulässigkeit
des Verfahrens auf der Eindeutigkeit der beiden inversen Operationen, näm-
lich der arithmetischen Division (mit Ausnahme derer durch 0) und der
arithmetischen Subtraktion. Da wie schon erwähnt die inversen Operationen
des identischen Kalkuls mit den gleichnamigen arithmetischen ausser ihrem
Gegensatz zu den direkten Operationen nur wenig gemein haben, so lässt
sich schon erwarten, dass hier der Rückschluss von
a c = b c oder a + c = b + c
auf a = b nicht zulässig sein wird.
Für Gebiete thun dies in der That die Figuren kund, in denen a und b
die Kreisflächen, dagegen c das schraffirte Gebiet vorstellt:
[Abbildung Fig. 14×.]
[Abbildung Fig. 14+.]
Ebenso offenbaren für Klassen es Beispiele wie folgende:
Die gleichseitigen Dreiecke sind
die gleichwinkligen Dreiecke, aber es
ist nicht: gleichseitig einerlei mit
gleichwinklig — der Rhombus z. B.
ersteres ohne das letztere. Die
schwerste Substanz ist das schwerste *)
Metall, doch ist nicht: Substanz =
Metall. Die Primzahlen nebst den unge-
raden Zahlen ist dasselbe wie die
Zahl 2 nebst den ungeraden Zahlen.
Gleichwol ist die Klasse der Prim-
zahlen nicht identisch mit der Zahl
2, sondern greift noch weit über
dieses allerdings in ihr enthaltene
Zahlindividuum hinaus. U. a. m.
*) Auch wenn man hier im Prädikat „schwerste“ genau so wie im Subjekte
versteht als „schwerer wie die übrigen Substanzen“ und nicht blos als „schwerer
wie die übrigen Metalle“ bleibt dies noch richtig. Vergl. die Anm. zu Th. 15).
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 266. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/286>, abgerufen am 22.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
