Wegen der von der Arithmetik her geläufigen Übung ist es hier am Platze vor dem erwähnten Rückschluss ausdrücklich zu warnen:
In Gleichungen (sowie Subsumtionen) des identischen Kalkuls ist es nicht gestattet, übereinstimmende Faktoren oder auch Terme der beiden Seiten zu "streichen".
17x) Theorem.
17+) Theorem.
Wenn ab und a' b', so ist auch:
a a' b b'.
a + a' b + b'.
Beweis. Nach 15x)*) und 12x)
Beweis. Nach 15+) und 12+)
folgt aus unsern Annahmen:
a a' b a', b a' b b',
a + a' b + a', b + a' b + b',
woraus die Behauptung a fortiori (d. i. nach II) zu schliessen ist.
18x) Theorem.
18+) Theorem.
Wenn ab und a' = b' ist, so muss sein:
a a' b b'.
a + a' b + b'.
Beweis aus Th. 17x) resp. 17+), da die Annahme a' = b' auch a' b' nach Def. (1) in sich schliesst.
19x) Theorem.
19+) Theorem.
Wenn a = b und a' = b', so ist auch:
a a' = b b'.
a + a' = b + b'.
Beweis. Nach Def. (1) schliessen die Voraussetzungen in sich, dass sowol ab, a' b', als auch ba, b' a' ist. Aus ersterm folgt nach 17x) resp. 17+):
a a' b b'
a + a' b + b',
aus letzterem ebenso:
b b' a a',
b + b' a + a',
womit die Behauptung nach Def. (1) erwiesen ist. In Worten kann man sagen:
Gleiches mit Gleichem multiplizirt gibt Gleiches.
Gleiches zu Gleichem addirt gibt Gleiches.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Sätze 17) bis 19) auf beliebig viele Subsumtionen oder Gleichungen ist naheliegend.
Um die allgemeinsten Sätze, welche sich auf diesem Wege ge-
*) Nämlich: indem man in der ersten Subsumtion ab beiderseits mit a' nachmultiplizirt, in der zweiten a' b' beiderseits mit b vormultiplizirt.
§ 10. Reine Gesetze.
Wegen der von der Arithmetik her geläufigen Übung ist es hier am Platze vor dem erwähnten Rückschluss ausdrücklich zu warnen:
In Gleichungen (sowie Subsumtionen) des identischen Kalkuls ist es nicht gestattet, übereinstimmende Faktoren oder auch Terme der beiden Seiten zu „streichen“.
17×) Theorem.
17+) Theorem.
Wenn a ⋹ b und a' ⋹ b', so ist auch:
a a' ⋹ b b'.
a + a' ⋹ b + b'.
Beweis. Nach 15×)*) und 12×)
Beweis. Nach 15+) und 12+)
folgt aus unsern Annahmen:
a a' ⋹ b a', b a' ⋹ b b',
a + a' ⋹ b + a', b + a' ⋹ b + b',
woraus die Behauptung a fortiori (d. i. nach II) zu schliessen ist.
18×) Theorem.
18+) Theorem.
Wenn a ⋹ b und a' = b' ist, so muss sein:
a a' ⋹ b b'.
a + a' ⋹ b + b'.
Beweis aus Th. 17×) resp. 17+), da die Annahme a' = b' auch a' ⋹ b' nach Def. (1) in sich schliesst.
19×) Theorem.
19+) Theorem.
Wenn a = b und a' = b', so ist auch:
a a' = b b'.
a + a' = b + b'.
Beweis. Nach Def. (1) schliessen die Voraussetzungen in sich, dass sowol a ⋹ b, a' ⋹ b', als auch b ⋹ a, b' ⋹ a' ist. Aus ersterm folgt nach 17×) resp. 17+):
a a' ⋹ b b'
a + a' ⋹ b + b',
aus letzterem ebenso:
b b' ⋹ a a',
b + b' ⋹ a + a',
womit die Behauptung nach Def. (1) erwiesen ist. In Worten kann man sagen:
Gleiches mit Gleichem multiplizirt gibt Gleiches.
Gleiches zu Gleichem addirt gibt Gleiches.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Sätze 17) bis 19) auf beliebig viele Subsumtionen oder Gleichungen ist naheliegend.
Um die allgemeinsten Sätze, welche sich auf diesem Wege ge-
*) Nämlich: indem man in der ersten Subsumtion a ⋹ b beiderseits mit a' nachmultiplizirt, in der zweiten a' ⋹ b' beiderseits mit b vormultiplizirt.
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[267/0287]
§ 10. Reine Gesetze.
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In Gleichungen (sowie Subsumtionen) des identischen Kalkuls ist es
nicht gestattet, übereinstimmende Faktoren oder auch Terme der beiden
Seiten zu „streichen“.
17×) Theorem. 17+) Theorem.
Wenn a ⋹ b und a' ⋹ b', so ist auch:
a a' ⋹ b b'. a + a' ⋹ b + b'.
Beweis. Nach 15×) *) und 12×) Beweis. Nach 15+) und 12+)
folgt aus unsern Annahmen:
a a' ⋹ b a', b a' ⋹ b b', a + a' ⋹ b + a', b + a' ⋹ b + b',
woraus die Behauptung a fortiori (d. i. nach II) zu schliessen ist.
18×) Theorem. 18+) Theorem.
Wenn a ⋹ b und a' = b' ist, so muss sein:
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Beweis aus Th. 17×) resp. 17+), da die Annahme a' = b' auch
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19×) Theorem. 19+) Theorem.
Wenn a = b und a' = b', so ist auch:
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Beweis. Nach Def. (1) schliessen die Voraussetzungen in sich,
dass sowol a ⋹ b, a' ⋹ b', als auch b ⋹ a, b' ⋹ a' ist. Aus ersterm
folgt nach 17×) resp. 17+):
a a' ⋹ b b' a + a' ⋹ b + b',
aus letzterem ebenso:
b b' ⋹ a a', b + b' ⋹ a + a',
womit die Behauptung nach Def. (1) erwiesen ist. In Worten kann
man sagen:
Gleiches mit Gleichem multiplizirt
gibt Gleiches. Gleiches zu Gleichem addirt gibt
Gleiches.
Zusatz 1. Die Ausdehnung der Sätze 17) bis 19) auf beliebig
viele Subsumtionen oder Gleichungen ist naheliegend.
Um die allgemeinsten Sätze, welche sich auf diesem Wege ge-
*) Nämlich: indem man in der ersten Subsumtion a ⋹ b beiderseits mit a'
nachmultiplizirt, in der zweiten a' ⋹ b' beiderseits mit b vormultiplizirt.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 267. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/287>, abgerufen am 16.02.2025.
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