Der Beweis ist naheliegend, nämlich z. B. linkerhand so zu leisten.
Ad (3x)'''. Aus xa nebst xb folgt nach (3x)', dass xa b; hieraus aber in Verbindung mit xc folgt abermals nach (3x)', dass x (a b) c, oder, weil die Klammer weggelassen werden darf, dass xa b c. Hieraus dann und aus der Voraussetzung xd folgt wieder nach (3x)', dass x (a b c) d sein muss, wo nun abermals die Klammer wegzulassen ist, u. s. w.
Ad (3x)'''' kann man in der Voraussetzung auch unter Anbringung einer Klammer die rechte Seite als ein Produkt von nur zwei Faktoren schreiben, sodass sie sich darstellt als: xa (b c d ...). Hieraus folgt aber nach (3x)'', dass xa, sowie xb c d ... sein muss. Letzteres kann wieder geschrieben werden: xb (c d ...) und zerfällt nach (3x)'' abermals in xb nebst xc d ... Indem man so weiterfährt, ge- winnt man fortschreitend die verschiedenen Subsumtionen, welche die Behauptung ausmachen. --
Exempel zum Vorstehenden haben wir schon in § 8 unter l) gebracht.
Es könnten vorstehende Sätze auch als selbständige Definition von Produkt und Summe aus beliebig vielen Operationsgliedern (Faktoren resp. Summanden) hingestellt werden, während im gegenwärtigen Lehr- gang wir vorgezogen haben, diese Begriffe rekurrirend auf diejenigen der "binären" (d. h. immer nur zwei Symbole auf einmal verknüpfenden) Multiplikation und Addition zurückzuführen.
Beweis. Nach Th. 6x) resp. 6+), wenn darin a für b genommen wird, ist einerseits:
a aa.
aa + a.
17*
§ 10. Reine Gesetze.
[Tabelle]
Und umgekehrt:
[Tabelle]
Der Beweis ist naheliegend, nämlich z. B. linkerhand so zu leisten.
Ad (3×)'''. Aus x ⋹ a nebst x ⋹ b folgt nach (3×)', dass x ⋹ a b; hieraus aber in Verbindung mit x ⋹ c folgt abermals nach (3×)', dass x ⋹ (a b) c, oder, weil die Klammer weggelassen werden darf, dass x ⋹ a b c. Hieraus dann und aus der Voraussetzung x ⋹ d folgt wieder nach (3×)', dass x ⋹ (a b c) d sein muss, wo nun abermals die Klammer wegzulassen ist, u. s. w.
Ad (3×)'''' kann man in der Voraussetzung auch unter Anbringung einer Klammer die rechte Seite als ein Produkt von nur zwei Faktoren schreiben, sodass sie sich darstellt als: x ⋹ a (b c d …). Hieraus folgt aber nach (3×)'', dass x ⋹ a, sowie x ⋹ b c d … sein muss. Letzteres kann wieder geschrieben werden: x ⋹ b (c d …) und zerfällt nach (3×)'' abermals in x ⋹ b nebst x ⋹ c d … Indem man so weiterfährt, ge- winnt man fortschreitend die verschiedenen Subsumtionen, welche die Behauptung ausmachen. —
Exempel zum Vorstehenden haben wir schon in § 8 unter λ) gebracht.
Es könnten vorstehende Sätze auch als selbständige Definition von Produkt und Summe aus beliebig vielen Operationsgliedern (Faktoren resp. Summanden) hingestellt werden, während im gegenwärtigen Lehr- gang wir vorgezogen haben, diese Begriffe rekurrirend auf diejenigen der „binären“ (d. h. immer nur zwei Symbole auf einmal verknüpfenden) Multiplikation und Addition zurückzuführen.
Beweis. Nach Th. 6×) resp. 6+), wenn darin a für b genommen wird, ist einerseits:
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a ⋹ a + a.
17*
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§ 10. Reine Gesetze.
Und umgekehrt:
Der Beweis ist naheliegend, nämlich z. B. linkerhand so zu leisten.
Ad (3×)'''. Aus x ⋹ a nebst x ⋹ b folgt nach (3×)', dass x ⋹ a b;
hieraus aber in Verbindung mit x ⋹ c folgt abermals nach (3×)', dass
x ⋹ (a b) c, oder, weil die Klammer weggelassen werden darf, dass
x ⋹ a b c. Hieraus dann und aus der Voraussetzung x ⋹ d folgt wieder
nach (3×)', dass x ⋹ (a b c) d sein muss, wo nun abermals die Klammer
wegzulassen ist, u. s. w.
Ad (3×)'''' kann man in der Voraussetzung auch unter Anbringung
einer Klammer die rechte Seite als ein Produkt von nur zwei Faktoren
schreiben, sodass sie sich darstellt als: x ⋹ a (b c d …). Hieraus folgt
aber nach (3×)'', dass x ⋹ a, sowie x ⋹ b c d … sein muss. Letzteres
kann wieder geschrieben werden: x ⋹ b (c d …) und zerfällt nach (3×)''
abermals in x ⋹ b nebst x ⋹ c d … Indem man so weiterfährt, ge-
winnt man fortschreitend die verschiedenen Subsumtionen, welche die
Behauptung ausmachen. —
Exempel zum Vorstehenden haben wir schon in § 8 unter λ)
gebracht.
Es könnten vorstehende Sätze auch als selbständige Definition von
Produkt und Summe aus beliebig vielen Operationsgliedern (Faktoren
resp. Summanden) hingestellt werden, während im gegenwärtigen Lehr-
gang wir vorgezogen haben, diese Begriffe rekurrirend auf diejenigen
der „binären“ (d. h. immer nur zwei Symbole auf einmal verknüpfenden)
Multiplikation und Addition zurückzuführen.
14) Theoreme. („Tautologiegesetze“.) Allgemein ist:
14×) a a = a. 14+ a + a = a.
Beweis. Nach Th. 6×) resp. 6+), wenn darin a für b genommen
wird, ist einerseits:
a a ⋹ a. a ⋹ a + a.
17*
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 259. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/279>, abgerufen am 09.05.2024.
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