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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 9. Reine Mannigfaltigkeit.
ohne sich in Widersprüche zu verwickeln, es nicht einführen. M. a. W.
Man darf die Betrachtungen innerhalb der ersten mit denjenigen innerhalb
der zweiten Mannigfaltigkeit nicht vermengen.

Schon das Subsumtionszeichen gibt zwischen Gebiete gesetzt einen
ganz anderen Sinn, als wenn es Klassen von Gebieten verknüpft.

Zur Unterscheidung wollen wir die Klassen der ursprünglichen
Mannigfaltigkeit -- also etwa Punktgebiete unsrer Tafel -- wie früher
mit kleinen, dagegen die Klassen ihrer derivirten Mannigfaltigkeit, d. i.
also Gattungen von Punktgebieten, oder Klassen jener Klassen, mit
grossen lateinischen Buchstaben darstellen.

Was dann eine Subsumtion a b ausdrückt, haben wir längst
erörtert. Auch fahren wir fort, die identische Null dieser ursprüng-
lichen Mannigfaltigkeit mit 0, die ganze mit 1 zu bezeichnen. Es
mögen uns a', a'', a''', ... noch spezielle Punktgebiete oder Klassen
der ursprünglichen Mannigfaltigkeit vorstellen.

Wenn nun in der zweiten oder derivirten Mannigfaltigkeit eine
Subsumtion
A B
gelten soll, so müssen alle in A zu einer Gattung zusammengefassten
Punktgebiete auch vorkommen unter den in B zusammengefassten.

Das Gebiet 0 kann dabei zu jenen gehören oder auch nicht.

Wenn etwa:
[Formel 1] gerade die rechts angemerkten Gebiete umfasst, so ist die Subsumtion
A B beispielsweise erfüllt. Und zwar ist hier A B. Hielten
wir aber die Bedeutung von A fest, so wäre A = B nur dann zu
nennen, wenn auch B nur die drei angeführten Gebiete O, a, a'
enthielte.

Ich verbinde die zu einer Klasse A oder B zusammengefassten Ge-
biete rechts hier nicht durch Pluszeichen, weil solche als Gebiete-ver-
knüpfende bereits einen abweichenden Sinn erhalten haben, und ihre An-
wendung bei B, z. B., bewirken würde, dass wir von den angeführten
Gebieten nach Th. 22+) nur mehr das eine 1 behielten.

Auch in unsrer zweiten Mannigfaltigkeit ist der Fall zulässig,
dass die Klassen (Gebietgattungen) A, B als singuläre zu verstehen

§ 9. Reine Mannigfaltigkeit.
ohne sich in Widersprüche zu verwickeln, es nicht einführen. M. a. W.
Man darf die Betrachtungen innerhalb der ersten mit denjenigen innerhalb
der zweiten Mannigfaltigkeit nicht vermengen.

Schon das Subsumtionszeichen gibt zwischen Gebiete gesetzt einen
ganz anderen Sinn, als wenn es Klassen von Gebieten verknüpft.

Zur Unterscheidung wollen wir die Klassen der ursprünglichen
Mannigfaltigkeit — also etwa Punktgebiete unsrer Tafel — wie früher
mit kleinen, dagegen die Klassen ihrer derivirten Mannigfaltigkeit, d. i.
also Gattungen von Punktgebieten, oder Klassen jener Klassen, mit
grossen lateinischen Buchstaben darstellen.

Was dann eine Subsumtion a ⋹ b ausdrückt, haben wir längst
erörtert. Auch fahren wir fort, die identische Null dieser ursprüng-
lichen Mannigfaltigkeit mit 0, die ganze mit 1 zu bezeichnen. Es
mögen uns a', a'', a''', … noch spezielle Punktgebiete oder Klassen
der ursprünglichen Mannigfaltigkeit vorstellen.

Wenn nun in der zweiten oder derivirten Mannigfaltigkeit eine
Subsumtion
A ⋹ B
gelten soll, so müssen alle in A zu einer Gattung zusammengefassten
Punktgebiete auch vorkommen unter den in B zusammengefassten.

Das Gebiet 0 kann dabei zu jenen gehören oder auch nicht.

Wenn etwa:
[Formel 1] gerade die rechts angemerkten Gebiete umfasst, so ist die Subsumtion
A ⋹ B beispielsweise erfüllt. Und zwar ist hier A ⊂ B. Hielten
wir aber die Bedeutung von A fest, so wäre A = B nur dann zu
nennen, wenn auch B nur die drei angeführten Gebiete O, a, a'
enthielte.

Ich verbinde die zu einer Klasse A oder B zusammengefassten Ge-
biete rechts hier nicht durch Pluszeichen, weil solche als Gebiete-ver-
knüpfende bereits einen abweichenden Sinn erhalten haben, und ihre An-
wendung bei B, z. B., bewirken würde, dass wir von den angeführten
Gebieten nach Th. 22+) nur mehr das eine 1 behielten.

Auch in unsrer zweiten Mannigfaltigkeit ist der Fall zulässig,
dass die Klassen (Gebietgattungen) A, B als singuläre zu verstehen

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[249/0269] § 9. Reine Mannigfaltigkeit. ohne sich in Widersprüche zu verwickeln, es nicht einführen. M. a. W. Man darf die Betrachtungen innerhalb der ersten mit denjenigen innerhalb der zweiten Mannigfaltigkeit nicht vermengen. Schon das Subsumtionszeichen gibt zwischen Gebiete gesetzt einen ganz anderen Sinn, als wenn es Klassen von Gebieten verknüpft. Zur Unterscheidung wollen wir die Klassen der ursprünglichen Mannigfaltigkeit — also etwa Punktgebiete unsrer Tafel — wie früher mit kleinen, dagegen die Klassen ihrer derivirten Mannigfaltigkeit, d. i. also Gattungen von Punktgebieten, oder Klassen jener Klassen, mit grossen lateinischen Buchstaben darstellen. Was dann eine Subsumtion a ⋹ b ausdrückt, haben wir längst erörtert. Auch fahren wir fort, die identische Null dieser ursprüng- lichen Mannigfaltigkeit mit 0, die ganze mit 1 zu bezeichnen. Es mögen uns a', a'', a''', … noch spezielle Punktgebiete oder Klassen der ursprünglichen Mannigfaltigkeit vorstellen. Wenn nun in der zweiten oder derivirten Mannigfaltigkeit eine Subsumtion A ⋹ B gelten soll, so müssen alle in A zu einer Gattung zusammengefassten Punktgebiete auch vorkommen unter den in B zusammengefassten. Das Gebiet 0 kann dabei zu jenen gehören oder auch nicht. Wenn etwa: [FORMEL] gerade die rechts angemerkten Gebiete umfasst, so ist die Subsumtion A ⋹ B beispielsweise erfüllt. Und zwar ist hier A ⊂ B. Hielten wir aber die Bedeutung von A fest, so wäre A = B nur dann zu nennen, wenn auch B nur die drei angeführten Gebiete O, a, a' enthielte. Ich verbinde die zu einer Klasse A oder B zusammengefassten Ge- biete rechts hier nicht durch Pluszeichen, weil solche als Gebiete-ver- knüpfende bereits einen abweichenden Sinn erhalten haben, und ihre An- wendung bei B, z. B., bewirken würde, dass wir von den angeführten Gebieten nach Th. 22+) nur mehr das eine 1 behielten. Auch in unsrer zweiten Mannigfaltigkeit ist der Fall zulässig, dass die Klassen (Gebietgattungen) A, B als singuläre zu verstehen

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 249. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/269>, abgerufen am 09.05.2024.