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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Vierte Vorlesung.

Die neue Mannigfaltigkeit könnte man als die "zweite Potenz" der
vorigen -- besser wohl als deren "erste abgeleitete oder derivirte Mannig-
faltigkeit" bezeichnen.

Von ihr liesse sich abermals eine (eventuell) neue, noch umfassen-
dere Mannigfaltigkeit "ableiten", welche als die derivirte der ersten
derivirten oder als die zweite abgeleitete Mannigfaltigkeit der ursprüng-
lichen zu bezeichnen wäre. Und so fort.

Wie aus den vorausgeschickten Überlegungen zu ersehen ist, darf
nun die Bedeutung der identischen 1 sich von der ersten jedenfalls
nicht über die zweite, deren "abgeleitete" Mannigfaltigkeit, mit er-
strecken, noch weniger also über noch höhere von den abgeleiteten
Mannigfaltigkeiten.

Und damit auch in der ursprünglichen Mannigfaltigkeit die Sub-
sumtion (2+) aufrecht erhalten werden könne, ist von vornherein er-
forderlich (und hinreichend), dass unter ihren als "Individuen" gegebenen
Elementen sich keine Klassen befinden, welche ihrerseits Elemente der-
selben Mannigfaltigkeit als Individuen unter sich begreifen.

Bildete man auch nur eine singuläre "Klasse" in ebendieser und
liesse solche als ein neues Individuum derselben zu, so drängte augen-
blicklich wieder die identische Null sich zu ihr hinzu, schlüpfte sozu-
sagen durch die Thür der Def. (2x) in sie ein.

Ich werde eine Mannigfaltigkeit der genannten Art eine "reine"
nennen -- im Gegensatz zu einer "gemischten", bei welcher obige An-
forderung nicht durchaus erfüllt ist, also wenigstens einzelne ihrer
Elemente Klassen sind, die schon andere Elemente derselben als In-
dividuen enthalten.

Damit der identische Kalkul auf eine Mannigfaltigkeit anwendbar
sei, muss sie eine reine Mannigfaltigkeit sein von vereinbaren Elementen.

ps) Auch auf die derivirte einer solchen Mannigfaltigkeit ist der
identische Kalkul wiederum anwendbar, nur muss die Null in dieser
unterschieden werden von der Null in jener, der ursprünglichen Mannig-
faltigkeit. Ebenso auch selbstverständlich die Eins, indem ja die eine
Mannigfaltigkeit als Ganzes nicht identisch war, sich nicht deckte mit
der andern; überhaupt werden in ihr sämtliche Ausdrücke, Operations-
und Beziehungszeichen eine neue, eigenartige Bedeutung beanspruchen.

Ein Gebiet 0, welches die fundamentale Eigenschaft: 0 a nicht
nur in der ursprünglichen, sondern zugleich auch in der abgeleiteten
zweiten Mannigfaltigkeit besässe, kann es, wie wir gesehen, jedenfalls
nicht geben; ein solches zu fingiren wäre nicht zulässig, man könnte,

Vierte Vorlesung.

Die neue Mannigfaltigkeit könnte man als die „zweite Potenz“ der
vorigen — besser wohl als deren „erste abgeleitete oder derivirte Mannig-
faltigkeit“ bezeichnen.

Von ihr liesse sich abermals eine (eventuell) neue, noch umfassen-
dere Mannigfaltigkeit „ableiten“, welche als die derivirte der ersten
derivirten oder als die zweite abgeleitete Mannigfaltigkeit der ursprüng-
lichen zu bezeichnen wäre. Und so fort.

Wie aus den vorausgeschickten Überlegungen zu ersehen ist, darf
nun die Bedeutung der identischen 1 sich von der ersten jedenfalls
nicht über die zweite, deren „abgeleitete“ Mannigfaltigkeit, mit er-
strecken, noch weniger also über noch höhere von den abgeleiteten
Mannigfaltigkeiten.

Und damit auch in der ursprünglichen Mannigfaltigkeit die Sub-
sumtion (2+) aufrecht erhalten werden könne, ist von vornherein er-
forderlich (und hinreichend), dass unter ihren als „Individuen“ gegebenen
Elementen sich keine Klassen befinden, welche ihrerseits Elemente der-
selben Mannigfaltigkeit als Individuen unter sich begreifen.

Bildete man auch nur eine singuläre „Klasse“ in ebendieser und
liesse solche als ein neues Individuum derselben zu, so drängte augen-
blicklich wieder die identische Null sich zu ihr hinzu, schlüpfte sozu-
sagen durch die Thür der Def. (2×) in sie ein.

Ich werde eine Mannigfaltigkeit der genannten Art eine „reine“
nennen — im Gegensatz zu einer „gemischten“, bei welcher obige An-
forderung nicht durchaus erfüllt ist, also wenigstens einzelne ihrer
Elemente Klassen sind, die schon andere Elemente derselben als In-
dividuen enthalten.

Damit der identische Kalkul auf eine Mannigfaltigkeit anwendbar
sei, muss sie eine reine Mannigfaltigkeit sein von vereinbaren Elementen.

ψ) Auch auf die derivirte einer solchen Mannigfaltigkeit ist der
identische Kalkul wiederum anwendbar, nur muss die Null in dieser
unterschieden werden von der Null in jener, der ursprünglichen Mannig-
faltigkeit. Ebenso auch selbstverständlich die Eins, indem ja die eine
Mannigfaltigkeit als Ganzes nicht identisch war, sich nicht deckte mit
der andern; überhaupt werden in ihr sämtliche Ausdrücke, Operations-
und Beziehungszeichen eine neue, eigenartige Bedeutung beanspruchen.

Ein Gebiet 0, welches die fundamentale Eigenschaft: 0 ⋹ a nicht
nur in der ursprünglichen, sondern zugleich auch in der abgeleiteten
zweiten Mannigfaltigkeit besässe, kann es, wie wir gesehen, jedenfalls
nicht geben; ein solches zu fingiren wäre nicht zulässig, man könnte,

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[248/0268] Vierte Vorlesung. Die neue Mannigfaltigkeit könnte man als die „zweite Potenz“ der vorigen — besser wohl als deren „erste abgeleitete oder derivirte Mannig- faltigkeit“ bezeichnen. Von ihr liesse sich abermals eine (eventuell) neue, noch umfassen- dere Mannigfaltigkeit „ableiten“, welche als die derivirte der ersten derivirten oder als die zweite abgeleitete Mannigfaltigkeit der ursprüng- lichen zu bezeichnen wäre. Und so fort. Wie aus den vorausgeschickten Überlegungen zu ersehen ist, darf nun die Bedeutung der identischen 1 sich von der ersten jedenfalls nicht über die zweite, deren „abgeleitete“ Mannigfaltigkeit, mit er- strecken, noch weniger also über noch höhere von den abgeleiteten Mannigfaltigkeiten. Und damit auch in der ursprünglichen Mannigfaltigkeit die Sub- sumtion (2+) aufrecht erhalten werden könne, ist von vornherein er- forderlich (und hinreichend), dass unter ihren als „Individuen“ gegebenen Elementen sich keine Klassen befinden, welche ihrerseits Elemente der- selben Mannigfaltigkeit als Individuen unter sich begreifen. Bildete man auch nur eine singuläre „Klasse“ in ebendieser und liesse solche als ein neues Individuum derselben zu, so drängte augen- blicklich wieder die identische Null sich zu ihr hinzu, schlüpfte sozu- sagen durch die Thür der Def. (2×) in sie ein. Ich werde eine Mannigfaltigkeit der genannten Art eine „reine“ nennen — im Gegensatz zu einer „gemischten“, bei welcher obige An- forderung nicht durchaus erfüllt ist, also wenigstens einzelne ihrer Elemente Klassen sind, die schon andere Elemente derselben als In- dividuen enthalten. Damit der identische Kalkul auf eine Mannigfaltigkeit anwendbar sei, muss sie eine reine Mannigfaltigkeit sein von vereinbaren Elementen. ψ) Auch auf die derivirte einer solchen Mannigfaltigkeit ist der identische Kalkul wiederum anwendbar, nur muss die Null in dieser unterschieden werden von der Null in jener, der ursprünglichen Mannig- faltigkeit. Ebenso auch selbstverständlich die Eins, indem ja die eine Mannigfaltigkeit als Ganzes nicht identisch war, sich nicht deckte mit der andern; überhaupt werden in ihr sämtliche Ausdrücke, Operations- und Beziehungszeichen eine neue, eigenartige Bedeutung beanspruchen. Ein Gebiet 0, welches die fundamentale Eigenschaft: 0 ⋹ a nicht nur in der ursprünglichen, sondern zugleich auch in der abgeleiteten zweiten Mannigfaltigkeit besässe, kann es, wie wir gesehen, jedenfalls nicht geben; ein solches zu fingiren wäre nicht zulässig, man könnte,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 248. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/268>, abgerufen am 09.05.2024.