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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Vierte Vorlesung.
sind, nämlich je in ein individuelles Gebiet ausarten. Es mag einmal
A = a, und vielleicht ebenso B = b je nur ein Gebiet vorstellen.

Im Allgemeinen wird dann nicht mehr A B sein. Dass aber
trotzdem vielleicht noch a b sein kann, vermöchten wir in dieser
zweiten Mannigfaltigkeit nun überhaupt nicht auszudrücken -- jeden-
falls nicht mittelst des bisherigen Subsumtionszeichens.

Hieran wird auch die Möglichkeit ersichtlich, dass A B von a b ver-
schieden; es muss z. B. das erstere Produkt unter den angegebnen Vor-
aussetzungen, sobald nur b mit a nicht gerade zusammenfällt, verschwinden,
ohne dass doch a b, welches = a, gleich 0 zu sein brauchte.

Das angeführte Beispiel, wo etwa A = a, B = b, a b und doch
nicht A B augenscheinlich ist, lässt erkennen, dass es beim Über-
gang von Betrachtungen innerhalb der ersten zu solchen innerhalb
der zweiten Mannigfaltigkeit nicht einmal erlaubt sein wird, zu beiden
Seiten einer Subsumtion Gleiches für Gleiches zu setzen, und zwar aus
dem Grunde, weil bei Ausführung der Substitution auch das Subsum-
tionszeichen seine Bedeutung notwendig ändert!

Sollte A B sein während A = a und B = b singuläre Klassen
von Gebieten, also Einzelgebiete selber vorstellen, so wäre der Fall
A B undenkbar, indem ja B dann ausser dem A (welches einerlei
mit a ist) noch mindestens ein zweites Gebiet enthalten müsste, im
Widerspruch zu der Annahme, dass es auch nur ein Gebiet, b, um-
fasse. Es bliebe nur die Möglichkeit A = B übrig, und wäre es so-
nach dasselbe Gebiet a, = b, das beide Klassen ausschliesslich ent-
hielten. --

Wir hätten nun in der zweiten Mannigfaltigkeit A gleich O ("gross
Null") zu nennen, wenn A eine leere Klasse ist, welche gar kein Ge-
biet der ersten Mannigfaltigkeit enthält, also jedenfalls auch deren
Nullgebiet (klein) 0 nicht -- auch nicht einmal dieses.

Hieraus erhellt, dass in der That die Nullklasse der zweiten Man-
nigfaltigkeit, O, eine ganz andere Bedeutung hat, als diejenige 0 der
ersten, dass sogar erstere die letztere auch nicht unter sich begreift.
Das Nullgebiet der ersten Mannigfaltigkeit ist, als ein "Gebiet", doch
gewiss ein ordentliches, legitimes Individuum der zweiten; das "Nichts"
in jener ist "Etwas" in dieser.

Zu dem absurden Ergebniss 0 = 1 waren wir aber oben, bei kh),
im Grunde nur gelangt, indem wir beide Nullen verwechselten, auch
die andre, O, mit 0 bezeichneten. --

Lag hienach eine Mannigfaltigkeit ursprünglich vor, auf welche
die Postulate unsres Kalkuls anwendbar waren, so durfte die Bedeu-
tung der 1 schon nicht über die Ableitung oder Derivirte dieser Mannig-

Vierte Vorlesung.
sind, nämlich je in ein individuelles Gebiet ausarten. Es mag einmal
A = a, und vielleicht ebenso B = b je nur ein Gebiet vorstellen.

Im Allgemeinen wird dann nicht mehr A ⋹ B sein. Dass aber
trotzdem vielleicht noch a ⋹ b sein kann, vermöchten wir in dieser
zweiten Mannigfaltigkeit nun überhaupt nicht auszudrücken — jeden-
falls nicht mittelst des bisherigen Subsumtionszeichens.

Hieran wird auch die Möglichkeit ersichtlich, dass A B von a b ver-
schieden; es muss z. B. das erstere Produkt unter den angegebnen Vor-
aussetzungen, sobald nur b mit a nicht gerade zusammenfällt, verschwinden,
ohne dass doch a b, welches = a, gleich 0 zu sein brauchte.

Das angeführte Beispiel, wo etwa A = a, B = b, a ⋹ b und doch
nicht A ⋹ B augenscheinlich ist, lässt erkennen, dass es beim Über-
gang von Betrachtungen innerhalb der ersten zu solchen innerhalb
der zweiten Mannigfaltigkeit nicht einmal erlaubt sein wird, zu beiden
Seiten einer Subsumtion Gleiches für Gleiches zu setzen, und zwar aus
dem Grunde, weil bei Ausführung der Substitution auch das Subsum-
tionszeichen seine Bedeutung notwendig ändert!

Sollte A ⋹ B sein während A = a und B = b singuläre Klassen
von Gebieten, also Einzelgebiete selber vorstellen, so wäre der Fall
A ⊂ B undenkbar, indem ja B dann ausser dem A (welches einerlei
mit a ist) noch mindestens ein zweites Gebiet enthalten müsste, im
Widerspruch zu der Annahme, dass es auch nur ein Gebiet, b, um-
fasse. Es bliebe nur die Möglichkeit A = B übrig, und wäre es so-
nach dasselbe Gebiet a, = b, das beide Klassen ausschliesslich ent-
hielten. —

Wir hätten nun in der zweiten Mannigfaltigkeit A gleich O („gross
Null“) zu nennen, wenn A eine leere Klasse ist, welche gar kein Ge-
biet der ersten Mannigfaltigkeit enthält, also jedenfalls auch deren
Nullgebiet (klein) 0 nicht — auch nicht einmal dieses.

Hieraus erhellt, dass in der That die Nullklasse der zweiten Man-
nigfaltigkeit, O, eine ganz andere Bedeutung hat, als diejenige 0 der
ersten, dass sogar erstere die letztere auch nicht unter sich begreift.
Das Nullgebiet der ersten Mannigfaltigkeit ist, als ein „Gebiet“, doch
gewiss ein ordentliches, legitimes Individuum der zweiten; das „Nichts“
in jener ist „Etwas“ in dieser.

Zu dem absurden Ergebniss 0 = 1 waren wir aber oben, bei χ),
im Grunde nur gelangt, indem wir beide Nullen verwechselten, auch
die andre, O, mit 0 bezeichneten. —

Lag hienach eine Mannigfaltigkeit ursprünglich vor, auf welche
die Postulate unsres Kalkuls anwendbar waren, so durfte die Bedeu-
tung der 1 schon nicht über die Ableitung oder Derivirte dieser Mannig-

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[250/0270] Vierte Vorlesung. sind, nämlich je in ein individuelles Gebiet ausarten. Es mag einmal A = a, und vielleicht ebenso B = b je nur ein Gebiet vorstellen. Im Allgemeinen wird dann nicht mehr A ⋹ B sein. Dass aber trotzdem vielleicht noch a ⋹ b sein kann, vermöchten wir in dieser zweiten Mannigfaltigkeit nun überhaupt nicht auszudrücken — jeden- falls nicht mittelst des bisherigen Subsumtionszeichens. Hieran wird auch die Möglichkeit ersichtlich, dass A B von a b ver- schieden; es muss z. B. das erstere Produkt unter den angegebnen Vor- aussetzungen, sobald nur b mit a nicht gerade zusammenfällt, verschwinden, ohne dass doch a b, welches = a, gleich 0 zu sein brauchte. Das angeführte Beispiel, wo etwa A = a, B = b, a ⋹ b und doch nicht A ⋹ B augenscheinlich ist, lässt erkennen, dass es beim Über- gang von Betrachtungen innerhalb der ersten zu solchen innerhalb der zweiten Mannigfaltigkeit nicht einmal erlaubt sein wird, zu beiden Seiten einer Subsumtion Gleiches für Gleiches zu setzen, und zwar aus dem Grunde, weil bei Ausführung der Substitution auch das Subsum- tionszeichen seine Bedeutung notwendig ändert! Sollte A ⋹ B sein während A = a und B = b singuläre Klassen von Gebieten, also Einzelgebiete selber vorstellen, so wäre der Fall A ⊂ B undenkbar, indem ja B dann ausser dem A (welches einerlei mit a ist) noch mindestens ein zweites Gebiet enthalten müsste, im Widerspruch zu der Annahme, dass es auch nur ein Gebiet, b, um- fasse. Es bliebe nur die Möglichkeit A = B übrig, und wäre es so- nach dasselbe Gebiet a, = b, das beide Klassen ausschliesslich ent- hielten. — Wir hätten nun in der zweiten Mannigfaltigkeit A gleich O („gross Null“) zu nennen, wenn A eine leere Klasse ist, welche gar kein Ge- biet der ersten Mannigfaltigkeit enthält, also jedenfalls auch deren Nullgebiet (klein) 0 nicht — auch nicht einmal dieses. Hieraus erhellt, dass in der That die Nullklasse der zweiten Man- nigfaltigkeit, O, eine ganz andere Bedeutung hat, als diejenige 0 der ersten, dass sogar erstere die letztere auch nicht unter sich begreift. Das Nullgebiet der ersten Mannigfaltigkeit ist, als ein „Gebiet“, doch gewiss ein ordentliches, legitimes Individuum der zweiten; das „Nichts“ in jener ist „Etwas“ in dieser. Zu dem absurden Ergebniss 0 = 1 waren wir aber oben, bei χ), im Grunde nur gelangt, indem wir beide Nullen verwechselten, auch die andre, O, mit 0 bezeichneten. — Lag hienach eine Mannigfaltigkeit ursprünglich vor, auf welche die Postulate unsres Kalkuls anwendbar waren, so durfte die Bedeu- tung der 1 schon nicht über die Ableitung oder Derivirte dieser Mannig-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 250. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/270>, abgerufen am 22.11.2024.