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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dritte Vorlesung.

Hienach würden wir also definitionsweise zu sagen haben, es sei

c a b allein dann, wenn jedes a b
enthaltende x auch c enthalten
muss.		a + b c dann allein, wenn jedes
in a + b enthaltene x auch in c
enthalten sein muss.

Ersetzten wir nunmehr in diesen Festsetzungen die Bedingung
a b x resp. x a + b durch dasjenige, was sie nach Def. (5) oder
Th. 9) bedeutet, wobei indess in letzterem an Stelle des dortigen x
zur Unterscheidung ein andrer Buchstabe, wie y, verwendet werden
müsste (weil x bereits mit einer andern Bedeutung vorgekommen, nicht
mehr verwendbar erscheint), so erhielten wir endlich die noch aus-
stehenden beiden Definitionen.

Diese aber -- obwol im Grunde notwendig äquivalent der Def. (3)
und dasselbe leistend, nämlich mit Hülfe des Subsumtionsbegriffs die
Bedeutung von a b als Prädikat und von a + b als Subjekt erklärend
-- würde sich doch dem Wortlaut nach mit Def. (3) durchaus nicht
decken. Bei weitem nicht so einfach wie letztere würde sie sogar
noch erheblich verwickelter sich darstellen als die Def. (4) in Th. 7),
indem sie noch weitere bedingte Bedingungen in ihre Bedingungen
eingefügt zeigte. Wir wollen sie hier gar nicht in Worte fassen,
sondern sie höchstens in der konziseren Formelsprache des Aussagen-
kalkuls -- als ein Kuriosum -- darstellen [§ 32, p .. s)].

Ihrerseits müsste sie, als die ursprüngliche Definition zugrunde
gelegt, kraft Th. 10) uns noch eine abermals erheblich verwickeltere
Fassung der Def. (5) liefern; diese wieder könnte in demselben Sinne
weiter verwendet werden und so ohne Ende fort immer verwickelter.

Wir müssen ja nun im Gegenteil nach möglichster Vereinfachung
der grundlegenden Begriffserklärungen streben.

Da haben wir denn als eine bemerkenswerte Thatsache zu kon-
statiren, dass die Def. (5) [von a b als Subjekt, etc.] -- ungeachtet
ihrer Analogie zur Def. (4) [von a b als Prädikat etc.] -- durchaus
nicht einer analogen Vereinfachung fähig zu sein scheint, wie die letztere (4),
[welche wir ja in die einfachere Fassung, Def. (3), zusammenziehen
konnten] -- wenigstens nicht, ohne ihren Charakter [dass sie a b als
Subjekt definire, etc.] dabei zu verlieren.

Wollte man gleichwol das Th. 9) als Def. (5) an die Spitze stellen,
so würde sich zwar sehr leicht der eine Teil (3)'' unsrer früheren
Def. (3) -- nunmehr als Lehrsatz -- auf Grund des bereits aus jener
deduzirten Theorems 6) beweisen lassen. In der That aus:

c a b und a b a folgte
c a und ähnlich auch c b.		a + b c und a a + b folgte
a c und ähnlich auch b c.

Dritte Vorlesung.

Hienach würden wir also definitionsweise zu sagen haben, es sei

c ⋹ a b allein dann, wenn jedes a b
enthaltende x auch c enthalten
muss.		a + b ⋹ c dann allein, wenn jedes
in a + b enthaltene x auch in c
enthalten sein muss.

Ersetzten wir nunmehr in diesen Festsetzungen die Bedingung
a b ⋹ x resp. x ⋹ a + b durch dasjenige, was sie nach Def. (5) oder
Th. 9) bedeutet, wobei indess in letzterem an Stelle des dortigen x
zur Unterscheidung ein andrer Buchstabe, wie y, verwendet werden
müsste (weil x bereits mit einer andern Bedeutung vorgekommen, nicht
mehr verwendbar erscheint), so erhielten wir endlich die noch aus-
stehenden beiden Definitionen.

Diese aber — obwol im Grunde notwendig äquivalent der Def. (3)
und dasselbe leistend, nämlich mit Hülfe des Subsumtionsbegriffs die
Bedeutung von a b als Prädikat und von a + b als Subjekt erklärend
— würde sich doch dem Wortlaut nach mit Def. (3) durchaus nicht
decken. Bei weitem nicht so einfach wie letztere würde sie sogar
noch erheblich verwickelter sich darstellen als die Def. (4) in Th. 7),
indem sie noch weitere bedingte Bedingungen in ihre Bedingungen
eingefügt zeigte. Wir wollen sie hier gar nicht in Worte fassen,
sondern sie höchstens in der konziseren Formelsprache des Aussagen-
kalkuls — als ein Kuriosum — darstellen [§ 32, π ‥ σ)].

Ihrerseits müsste sie, als die ursprüngliche Definition zugrunde
gelegt, kraft Th. 10) uns noch eine abermals erheblich verwickeltere
Fassung der Def. (5) liefern; diese wieder könnte in demselben Sinne
weiter verwendet werden und so ohne Ende fort immer verwickelter.

Wir müssen ja nun im Gegenteil nach möglichster Vereinfachung
der grundlegenden Begriffserklärungen streben.

Da haben wir denn als eine bemerkenswerte Thatsache zu kon-
statiren, dass die Def. (5) [von a b als Subjekt, etc.] — ungeachtet
ihrer Analogie zur Def. (4) [von a b als Prädikat etc.] — durchaus
nicht einer analogen Vereinfachung fähig zu sein scheint, wie die letztere (4),
[welche wir ja in die einfachere Fassung, Def. (3), zusammenziehen
konnten] — wenigstens nicht, ohne ihren Charakter [dass sie a b als
Subjekt definire, etc.] dabei zu verlieren.

Wollte man gleichwol das Th. 9) als Def. (5) an die Spitze stellen,
so würde sich zwar sehr leicht der eine Teil (3)'' unsrer früheren
Def. (3) — nunmehr als Lehrsatz — auf Grund des bereits aus jener
deduzirten Theorems 6) beweisen lassen. In der That aus:

c ⋹ a b und a b ⋹ a folgte
c ⋹ a und ähnlich auch c ⋹ b.		a + b ⋹ c und a ⋹ a + b folgte
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[208/0228] Dritte Vorlesung. Hienach würden wir also definitionsweise zu sagen haben, es sei c ⋹ a b allein dann, wenn jedes a b enthaltende x auch c enthalten muss. a + b ⋹ c dann allein, wenn jedes in a + b enthaltene x auch in c enthalten sein muss. Ersetzten wir nunmehr in diesen Festsetzungen die Bedingung a b ⋹ x resp. x ⋹ a + b durch dasjenige, was sie nach Def. (5) oder Th. 9) bedeutet, wobei indess in letzterem an Stelle des dortigen x zur Unterscheidung ein andrer Buchstabe, wie y, verwendet werden müsste (weil x bereits mit einer andern Bedeutung vorgekommen, nicht mehr verwendbar erscheint), so erhielten wir endlich die noch aus- stehenden beiden Definitionen. Diese aber — obwol im Grunde notwendig äquivalent der Def. (3) und dasselbe leistend, nämlich mit Hülfe des Subsumtionsbegriffs die Bedeutung von a b als Prädikat und von a + b als Subjekt erklärend — würde sich doch dem Wortlaut nach mit Def. (3) durchaus nicht decken. Bei weitem nicht so einfach wie letztere würde sie sogar noch erheblich verwickelter sich darstellen als die Def. (4) in Th. 7), indem sie noch weitere bedingte Bedingungen in ihre Bedingungen eingefügt zeigte. Wir wollen sie hier gar nicht in Worte fassen, sondern sie höchstens in der konziseren Formelsprache des Aussagen- kalkuls — als ein Kuriosum — darstellen [§ 32, π ‥ σ)]. Ihrerseits müsste sie, als die ursprüngliche Definition zugrunde gelegt, kraft Th. 10) uns noch eine abermals erheblich verwickeltere Fassung der Def. (5) liefern; diese wieder könnte in demselben Sinne weiter verwendet werden und so ohne Ende fort immer verwickelter. Wir müssen ja nun im Gegenteil nach möglichster Vereinfachung der grundlegenden Begriffserklärungen streben. Da haben wir denn als eine bemerkenswerte Thatsache zu kon- statiren, dass die Def. (5) [von a b als Subjekt, etc.] — ungeachtet ihrer Analogie zur Def. (4) [von a b als Prädikat etc.] — durchaus nicht einer analogen Vereinfachung fähig zu sein scheint, wie die letztere (4), [welche wir ja in die einfachere Fassung, Def. (3), zusammenziehen konnten] — wenigstens nicht, ohne ihren Charakter [dass sie a b als Subjekt definire, etc.] dabei zu verlieren. Wollte man gleichwol das Th. 9) als Def. (5) an die Spitze stellen, so würde sich zwar sehr leicht der eine Teil (3)'' unsrer früheren Def. (3) — nunmehr als Lehrsatz — auf Grund des bereits aus jener deduzirten Theorems 6) beweisen lassen. In der That aus: c ⋹ a b und a b ⋹ a folgte c ⋹ a und ähnlich auch c ⋹ b. a + b ⋹ c und a ⋹ a + b folgte a ⋹ c und ähnlich auch b ⋹ c.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 208. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/228>, abgerufen am 27.04.2024.