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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
im einen Theorem dem andern gegenüber vertauscht erscheint; d. h.
in der zusammengesetzten Voraussetzung eines jeden der beiden Theoreme,
welche selbst die Erfüllung einer Bedingung an das Erfülltsein einer
zweiten Bedingung knüpft, muss man jenes Bedingte mit dieser Be-
dingung vertauschen, um das andre Theorem daraus zu erhalten --
man muss nicht das Theorem, wohl aber dessen Voraussetzung
"umkehren".

Wir hätten nun allerdings anstatt der Definitionen (3) oder (4)
auch die Definition (5) als solche an die Spitze der ganzen Theorie
stellen können, woraus sich sofort auch das Th. 6) -- wie in Anm. 2
zu Th. 9) gezeigt -- mitergeben haben würde.

Es wäre dann a b und a + b auch wieder nur für die einseitige
Verwendung definirt erschienen, aber diesmal für die umgekehrte wie
früher, zunächst nämlich wäre a b nur als Subjekt und a + b als
Prädikat erklärt.

Für die andersseitige Verwendung dieser beiden Symbole (nämlich
für die von a b als Prädikat und a + b als Subjekt) könnte dann die
Begriffserklärung wieder leicht auf die vorhergehende zurückgeführt
werden kraft zweier Theoreme -- naheliegender Analoga zu Th. 8)'
und 8)'' -- die wir zunächst aussprechen und beweisen wollen.

10x)' Theorem. Soll10+)' Theorem. Soll
c a ba + b c

gelten, so muss für jedes x, für welches

a b xx a + b
ist, auch sein:
c x.x c.

Beweis direkt aus Prinzip II.

Und umgekehrt:

10x)'' Theorem.10+)'' Theorem.

Wenn für jedes x, für welches

a b xx a + b
ist, auch
c xx c
sein muss, so wird zu sagen sein, es sei
c a b.a + b c.

Beweis nach I, da alsdann auch a b resp. a + b selbst ein solches
x ist, welches die Bedingung und folglich auch die Behauptung der
Voraussetzung erfüllt.

§ 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition.
im einen Theorem dem andern gegenüber vertauscht erscheint; d. h.
in der zusammengesetzten Voraussetzung eines jeden der beiden Theoreme,
welche selbst die Erfüllung einer Bedingung an das Erfülltsein einer
zweiten Bedingung knüpft, muss man jenes Bedingte mit dieser Be-
dingung vertauschen, um das andre Theorem daraus zu erhalten —
man muss nicht das Theorem, wohl aber dessen Voraussetzung
„umkehren“.

Wir hätten nun allerdings anstatt der Definitionen (3) oder (4)
auch die Definition (5) als solche an die Spitze der ganzen Theorie
stellen können, woraus sich sofort auch das Th. 6) — wie in Anm. 2
zu Th. 9) gezeigt — mitergeben haben würde.

Es wäre dann a b und a + b auch wieder nur für die einseitige
Verwendung definirt erschienen, aber diesmal für die umgekehrte wie
früher, zunächst nämlich wäre a b nur als Subjekt und a + b als
Prädikat erklärt.

Für die andersseitige Verwendung dieser beiden Symbole (nämlich
für die von a b als Prädikat und a + b als Subjekt) könnte dann die
Begriffserklärung wieder leicht auf die vorhergehende zurückgeführt
werden kraft zweier Theoreme — naheliegender Analoga zu Th. 8)'
und 8)'' — die wir zunächst aussprechen und beweisen wollen.

10×)' Theorem. Soll10+)' Theorem. Soll
c ⋹ a ba + b ⋹ c

gelten, so muss für jedes x, für welches

a b ⋹ xx ⋹ a + b
ist, auch sein:
c ⋹ x.x ⋹ c.

Beweis direkt aus Prinzip II.

Und umgekehrt:

10×)'' Theorem.10+)'' Theorem.

Wenn für jedes x, für welches

a b ⋹ xx ⋹ a + b
ist, auch
c ⋹ xx ⋹ c
sein muss, so wird zu sagen sein, es sei
c ⋹ a b.a + b ⋹ c.

Beweis nach I, da alsdann auch a b resp. a + b selbst ein solches
x ist, welches die Bedingung und folglich auch die Behauptung der
Voraussetzung erfüllt.

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[207/0227] § 6. Kritische Untersuchungen über die gegebene Definition. im einen Theorem dem andern gegenüber vertauscht erscheint; d. h. in der zusammengesetzten Voraussetzung eines jeden der beiden Theoreme, welche selbst die Erfüllung einer Bedingung an das Erfülltsein einer zweiten Bedingung knüpft, muss man jenes Bedingte mit dieser Be- dingung vertauschen, um das andre Theorem daraus zu erhalten — man muss nicht das Theorem, wohl aber dessen Voraussetzung „umkehren“. Wir hätten nun allerdings anstatt der Definitionen (3) oder (4) auch die Definition (5) als solche an die Spitze der ganzen Theorie stellen können, woraus sich sofort auch das Th. 6) — wie in Anm. 2 zu Th. 9) gezeigt — mitergeben haben würde. Es wäre dann a b und a + b auch wieder nur für die einseitige Verwendung definirt erschienen, aber diesmal für die umgekehrte wie früher, zunächst nämlich wäre a b nur als Subjekt und a + b als Prädikat erklärt. Für die andersseitige Verwendung dieser beiden Symbole (nämlich für die von a b als Prädikat und a + b als Subjekt) könnte dann die Begriffserklärung wieder leicht auf die vorhergehende zurückgeführt werden kraft zweier Theoreme — naheliegender Analoga zu Th. 8)' und 8)'' — die wir zunächst aussprechen und beweisen wollen. 10×)' Theorem. Soll 10+)' Theorem. Soll c ⋹ a b a + b ⋹ c gelten, so muss für jedes x, für welches a b ⋹ x x ⋹ a + b ist, auch sein: c ⋹ x. x ⋹ c. Beweis direkt aus Prinzip II. Und umgekehrt: 10×)'' Theorem. 10+)'' Theorem. Wenn für jedes x, für welches a b ⋹ x x ⋹ a + b ist, auch c ⋹ x x ⋹ c sein muss, so wird zu sagen sein, es sei c ⋹ a b. a + b ⋹ c. Beweis nach I, da alsdann auch a b resp. a + b selbst ein solches x ist, welches die Bedingung und folglich auch die Behauptung der Voraussetzung erfüllt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 207. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/227>, abgerufen am 27.04.2024.