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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zweite Vorlesung.
Verwendung in der Logik empfahl, würde es nach dem soeben Auseinan-
dergesetzten doch nur eine unnütze Weitläufigkeit sein, wenn wir für die
identische Gleichheit ein anderes als das arithmetische Gleichheitszeichen
einführen, ein apartes, komplizirteres Zeichen für dieselbe hier benutzen
wollten.

Bedeuten a und b Klassen, und ist a = b, so werden a und b nur
(verschiedene) Namen für einunddieselbe Klasse vorstellen. Beispiels-
weise werde angeführt:
Pferd = Ross, Neger = Mohr,
Erdtrabant = Mond (im engeren Sinne), = der Mond.

1) Theorem. Stets ist a = a.

Jedes Gebiet ist sich selbst identisch gleich.

Beweis. Die Voraussetzungen a b, b a, der Def. (1) für
die Gleichheit a = b treffen nach Prinzip I zu, wenn a selber unter b
verstanden, für b gesetzt wird; folglich ist in diesem Falle die Defini-
tion auch anwendbar. Aus a a und a a folgt nach (1)': a = a.

2) Theorem. Wenn a b und b = c, so ist a c.

Beweis. Dann ist auch b c nach der zweiten Prämisse auf
Grund des Teils (1)'' der Def. (1) Und hieraus, in Verbindung mit
der ersten Prämisse folgt nach II, dass a c.

3) Theorem. Wenn a = b und b c, so ist auch a c.

Beweis. Nach der ersten Prämisse und Def. (1) Teil (1)'', ist
auch a b und hieraus in Verbindung mit der zweiten Prämisse folgt
nach II: a c, wie zu beweisen war.

Die beiden letzten Theoreme zusammenfassend können wir also
sagen:

Zusatz. Als Prädikat sowol, wie als Subjekt, darf Gleiches für
Gleiches gesetzt werden.

In der That geht die Konklusion bei Th. 2) hervor aus der ersten
Prämisse, indem man deren Prädikat b durch das ihm gleiche c er-
setzt, bei Th. 3) aus dessen zweiter Prämisse, indem man deren Sub-
jekt b durch das ihm gleiche a ersetzt.

4) Theorem. Wenn a = b und b = c, so ist auch a = c.

Oder: Wenn zwei Gebiete mit einem dritten identisch gleich sind, so
sind sie auch unter sich identisch.

Es sind dann alle drei Gebiete "einander gleich" -- vergl. die
nachherige Zusatzdefinition.

Beweis. Nach Def. (1), Teil (1)'', ist mit den beiden Voraus-
setzungen des Satzes einerseits gegeben, dass a b und b c sei,
und hieraus folgt a c nach II. Ebenso ist andrerseits gegeben:

Zweite Vorlesung.
Verwendung in der Logik empfahl, würde es nach dem soeben Auseinan-
dergesetzten doch nur eine unnütze Weitläufigkeit sein, wenn wir für die
identische Gleichheit ein anderes als das arithmetische Gleichheitszeichen
einführen, ein apartes, komplizirteres Zeichen für dieselbe hier benutzen
wollten.

Bedeuten a und b Klassen, und ist a = b, so werden a und b nur
(verschiedene) Namen für einunddieselbe Klasse vorstellen. Beispiels-
weise werde angeführt:
Pferd = Ross, Neger = Mohr,
Erdtrabant = Mond (im engeren Sinne), = der Mond.

1) Theorem. Stets ist a = a.

Jedes Gebiet ist sich selbst identisch gleich.

Beweis. Die Voraussetzungen a ⋹ b, b ⋹ a, der Def. (1) für
die Gleichheit a = b treffen nach Prinzip I zu, wenn a selber unter b
verstanden, für b gesetzt wird; folglich ist in diesem Falle die Defini-
tion auch anwendbar. Aus a ⋹ a und a ⋹ a folgt nach (1)': a = a.

2) Theorem. Wenn a ⋹ b und b = c, so ist a ⋹ c.

Beweis. Dann ist auch b ⋹ c nach der zweiten Prämisse auf
Grund des Teils (1)'' der Def. (1) Und hieraus, in Verbindung mit
der ersten Prämisse folgt nach II, dass a ⋹ c.

3) Theorem. Wenn a = b und b ⋹ c, so ist auch a ⋹ c.

Beweis. Nach der ersten Prämisse und Def. (1) Teil (1)'', ist
auch a ⋹ b und hieraus in Verbindung mit der zweiten Prämisse folgt
nach II: a ⋹ c, wie zu beweisen war.

Die beiden letzten Theoreme zusammenfassend können wir also
sagen:

Zusatz. Als Prädikat sowol, wie als Subjekt, darf Gleiches für
Gleiches gesetzt werden.

In der That geht die Konklusion bei Th. 2) hervor aus der ersten
Prämisse, indem man deren Prädikat b durch das ihm gleiche c er-
setzt, bei Th. 3) aus dessen zweiter Prämisse, indem man deren Sub-
jekt b durch das ihm gleiche a ersetzt.

4) Theorem. Wenn a = b und b = c, so ist auch a = c.

Oder: Wenn zwei Gebiete mit einem dritten identisch gleich sind, so
sind sie auch unter sich identisch.

Es sind dann alle drei Gebiete „einander gleich“ — vergl. die
nachherige Zusatzdefinition.

Beweis. Nach Def. (1), Teil (1)'', ist mit den beiden Voraus-
setzungen des Satzes einerseits gegeben, dass a ⋹ b und b ⋹ c sei,
und hieraus folgt a ⋹ c nach II. Ebenso ist andrerseits gegeben:

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[186/0206] Zweite Vorlesung. Verwendung in der Logik empfahl, würde es nach dem soeben Auseinan- dergesetzten doch nur eine unnütze Weitläufigkeit sein, wenn wir für die identische Gleichheit ein anderes als das arithmetische Gleichheitszeichen einführen, ein apartes, komplizirteres Zeichen für dieselbe hier benutzen wollten. Bedeuten a und b Klassen, und ist a = b, so werden a und b nur (verschiedene) Namen für einunddieselbe Klasse vorstellen. Beispiels- weise werde angeführt: Pferd = Ross, Neger = Mohr, Erdtrabant = Mond (im engeren Sinne), = der Mond. 1) Theorem. Stets ist a = a. Jedes Gebiet ist sich selbst identisch gleich. Beweis. Die Voraussetzungen a ⋹ b, b ⋹ a, der Def. (1) für die Gleichheit a = b treffen nach Prinzip I zu, wenn a selber unter b verstanden, für b gesetzt wird; folglich ist in diesem Falle die Defini- tion auch anwendbar. Aus a ⋹ a und a ⋹ a folgt nach (1)': a = a. 2) Theorem. Wenn a ⋹ b und b = c, so ist a ⋹ c. Beweis. Dann ist auch b ⋹ c nach der zweiten Prämisse auf Grund des Teils (1)'' der Def. (1) Und hieraus, in Verbindung mit der ersten Prämisse folgt nach II, dass a ⋹ c. 3) Theorem. Wenn a = b und b ⋹ c, so ist auch a ⋹ c. Beweis. Nach der ersten Prämisse und Def. (1) Teil (1)'', ist auch a ⋹ b und hieraus in Verbindung mit der zweiten Prämisse folgt nach II: a ⋹ c, wie zu beweisen war. Die beiden letzten Theoreme zusammenfassend können wir also sagen: Zusatz. Als Prädikat sowol, wie als Subjekt, darf Gleiches für Gleiches gesetzt werden. In der That geht die Konklusion bei Th. 2) hervor aus der ersten Prämisse, indem man deren Prädikat b durch das ihm gleiche c er- setzt, bei Th. 3) aus dessen zweiter Prämisse, indem man deren Sub- jekt b durch das ihm gleiche a ersetzt. 4) Theorem. Wenn a = b und b = c, so ist auch a = c. Oder: Wenn zwei Gebiete mit einem dritten identisch gleich sind, so sind sie auch unter sich identisch. Es sind dann alle drei Gebiete „einander gleich“ — vergl. die nachherige Zusatzdefinition. Beweis. Nach Def. (1), Teil (1)'', ist mit den beiden Voraus- setzungen des Satzes einerseits gegeben, dass a ⋹ b und b ⋹ c sei, und hieraus folgt a ⋹ c nach II. Ebenso ist andrerseits gegeben:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 186. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/206>, abgerufen am 27.04.2024.