Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 4. Folgesätze. Gleichheit.

c ⋹ b und b ⋹ a, also nach II auch c ⋹ a. Die gefolgerten beiden
Ergebnisse a ⋹ c und c ⋹ a lassen sich aber nach Def. (1) Teil (1)'
zusammenfassen zu der Gleichung a = c, womit der Satz bewiesen ist.

Die Theoreme 2), 3), 4) finden bereits unter Prinzip II sich durch
Figuren erläutert, vergl. Fig. 3 … 6.

Zusatz zu Th. 4). Die Ausdehnung des Satzes von zweien auf
eine beliebige Menge als erfüllt vorauszusetzender Gleichungen, welche
sich so anordnen lassen, dass sie eine stetige Kette bilden, d. h. dass
die einander zugewendeten Seiten benachbarter Gleichungen jeweils
übereinstimmen, ist naheliegend, und kann durch wiederholte Anwen-
dung des Th. 4) unschwer bewiesen werden.

Wenn a = b, b = c und c = d ist, so folgt aus den zwei ersten
Gleichungen nach 4) zunächst a = c und hieraus, in Verbindung mit
der dritten Gleichung folgt ebenso: a = d. Daneben folgt auch aus
den beiden letzten Gleichungen b = d, sodass hier jede zwei vorkom-
mende Symbole als gleich nachweisbar sind.

Zusatzdefinition zu (1). Nunmehr kann auch der Begriff der
identischen Gleichheit von zweien auf eine beliebige Menge von Ge-
bieten ausgedehnt werden. Die Gebiete der Menge sind „einander
gleich“ zu nennen, wenn (d. h. immer dann und nur dann, wenn) je
zwei derselben einander gleich sind.

Dass solches stattfinde, wird ausgedrückt, indem man die Namen
der Gebiete in irgend einer Folge auf der Zeile durch Gleichheits-
zeichen verbindet, z. B. schreibt:
a = b = c = …

Tritt zu einer Menge von unter sich gleichen Symbolen ein wei-
teres Symbol hinzu, welches einem von jenen gleich ist, so bilden die
bisherigen Symbole zusammen eine neue Menge von unter sich gleichen
Symbolen.

Denn ist a₁ = a₂ = … = a_× = … = a_n die erstgedachte Menge
und trits a_{n + 1} = a_× hinzu, so ist für λ = 1, 2, … n auch leicht zu be-
weisen, dass das neuhinzugekommene a_{n + 1} = a_λ sein muss, in Anbetracht
dass a_× = a_λ schon laut Voraussetzung gilt. Ein beliebig aus der neuen
Menge herausgehobenes Paar von Symbolen enthält entweder das neu hin-
zugekommene Symbol a_{n + 1} oder nicht. Im ersten Falle enthält es neben
jenem Symbole noch ein solches a_λ der alten Menge, und ist die Gleich-
heit beider Symbole des Paars soeben bewiesen. Im zweiten Falle muss
das Paar aus zwei Symbolen a_λ und a_μ der alten Menge bestehen und ist
deren Gleichheit bereits in der Voraussetzung gefordert, dass sämtliche
Symbole dieser letztern einander gleich seien.

In beiden Fällen sind also die zwei Symbole des aus der neuen Menge
herausgehobenen Paares in der That einander gleich.