Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]

Von beſonderem Intereſſe ſind die Curven B_n O O·B_n+1
und B_n 6 6 ..... B_n+1, welche die beiden Biegungs-
momente M_n und M_n+1 graphiſch darſtellen, weil dieſe Cur-
ven ausreichen, um für jede Lage der Laſt P die Darſtellung
der Biegungsmomente auszuführen. In Fig. 48) iſt
[Formel 1]

Aus den letzten zwei Gleichungen folgt
36) [Formel 2]
37) [Formel 3] .
Hieraus ergiebt ſich für jene zwei Curven folgende einfache
Conſtruction. In Fig. 66) Blatt 400 iſt die Ordinate der punk-
tirten Parabel B_n C B_n+1 gleich
[Formel 4] und
[Formel 5] .
Die Parabelordinaten ſind in horizontaler Richtung auf die
Linie E G projicirt, und durch die Fußpunkte der projiciren-
den Linien ſind Strahlen nach dem Punkte J gezogen. Die
Schnittpunkte dieſer Strahlen mit den entſprechenden Parabel-
ordinaten ſind Punkte der Curven für M_n.

In ganz ähnlicher Weiſe ergiebt ſich nach Fig. 67) die
Curve für M_n+1, indem man die Ordinaten der Parabel
B_n D B_n+1 gleich
[Formel 6] aufträgt.

Das Maximum von M_n tritt ein, wenn
38) [Formel 7]
und dasjenige von M_n+1, wenn
39) [Formel 8]
iſt; in dieſen beiden Punkten erzeugt alſo eine Einzellaſt das
größtmögliche Biegungsmoment über der n^ten und n+1^ſten
Stütze. Jene Werthe von x laſſen ſich leichter auf graphi-
ſchem Wege als durch Rechnung beſtimmen.

[Spaltenumbruch]

In Fig. 68) iſt
[Formel 9] D und E ſind, wie man ſich leicht überzeugt, die beiden ge-
ſuchten Punkte.

Als eine merkwürdige Beziehung iſt noch zu erwähnen,
daß die in Rede ſtehenden beiden Curven die Biegungscurven
der n^ten Oeffnung für die beiden Fälle ſind, in welchen nur
links oder nur rechts von der n^ten Oeffnung Belaſtungen auf
den Träger einwirken. Man überzeugt ſich hiervon, wenn
man die zweiten Abgeleiteten der Gleichungen 36) und 37) bil-
det und dieſe mit den Gleichungen der Biegungsmomente für
jene Belaſtungsfälle vergleicht. Die zweite Abgeleitete der
Gleichung 36) iſt
[Formel 10] und die Gleichung der Biegungsmomente der unbelaſteten n^ten
Oeffnung
[Formel 11]

Wenn der Träger nur links von der n^ten Oeffnung be-
laſtet iſt, ſo iſt
und daher
[Formel 12]

Bezeichnet man die Ordinate der Curve B_n O O .. B_n+1
mit y, ſo iſt alſo
[Formel 13] d. h. jene Curve iſt die Biegungscurve für den oben bezeich-
neten Belaſtungsfall. Ebenſo findet man, daß die Curve
B_n 6 6 B_n+1 die Biegungscurve darſtellt, wenn der Träger
nur rechts von der n^ten Oeffnung belaſtet iſt.

Aus den Fig. 50—52 iſt ohne Weiteres zu erſehen:

1) die Wendepunkte U und V der von einer Einzellaſt
erzeugten Biegungscurve liegen nie zwiſchen den beiden
Fixpunkten N_n und O_n, ſondern immer zwiſchen dieſen
Punkten und den Stützpunkten;

2) jede Belaſtung der n^ten Oeffnung erzeugt daher in
jedem Punkt der Strecke N_n O_n ein poſitives Biegungs-
moment und die ganze Länge der Oeffnung muß von
der größtmöglichen Belaſtung bedeckt ſein, um in dieſen
Punkten das Maximalbiegungsmoment hervorzurufen;

3) in den Punkten der beiden Strecken B_n N_n und O_n B_n+1
kommen poſitive und negative Biegungsmomente vor.
Man findet mit Hülfe der Curven U und V (Fig. 50)