Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
Stützen in einer Horizontalen liegen, und daß nur der Punkt
A (Fig. 48 Blatt 400) in der n^ten Oeffnung, deſſen Entfer-
nung von der n^ten Stütze gleich x iſt, mit einem Gewicht P
belaſtet ſei. Die Belaſtungsfläche der elaſtiſchen Linie hat die
Form W B_n U C V B_n+1 Z. Bekannt iſt die Ordinate
[Formel 1] unbekannt die Lage der Geraden W Z. Dieſe Lage ergiebt
ſich durch eine ganz ähnliche Beziehung wie jene, welche an-
gewandt wurde, um die in Fig. 40) dargeſtellte Aufgabe zu
löſen. Zu dem Zweck wird vorausgeſetzt, daß die Lage der
Fixpunkte N_n und O_n durch eine Hülfsconſtruction nach Art
der Fig. 32) und 33) beſtimmt und für die vorliegende Auf-
gabe ſonach gegeben ſei. Entfernt man die Belaſtung P und
bringt man dafür rechts von der Stütze B_n+1 alſo z. B. in
der n + 2^ten Oeffnung eine ſo große Belaſtung an, daß das
Biegungsmoment M_n dieſelbe Größe erhält, wie in Fig. 48,
ſo werden auch alle übrigen Biegungsmomente links von der
Stütze B_n dieſelbe Größe behalten, wie in dem von Fig. 48
dargeſtellten Belaſtungsfalle. Dagegen werden die Biegungs-
momente in der n^ten Oeffnung durch die Flächen
[Formel 2] dargeſtellt, weil der Wendepunkt der Biegungscurve in dem
Punkte N_n liegt, wenn nur rechts von B_n+1 Belaſtungen auf
den Träger einwirken. In beiden Belaſtungsfällen erfordert
die Continuität der mit der elaſtiſchen Linie übereinſtimmenden
Seilcurve, daß der Auflagerdruck der Belaſtungsfläche der
n—1^ſten und n^ten Oeffnung auf die n^te Stütze gleich Null ſei,
oder, da die Belaſtungsfläche der n—1^ſten Oeffnung in beiden
Fällen dieſelbe iſt, daß die Drücke auf die n^te Stütze, welche
von der Belaſtungsfläche
[Formel 3] und von der Fläche
[Formel 4] ausgeübt werden, einander gleich ſeien. Hieraus folgt, daß
die Momente der beiden Dreiecke
[Formel 5] in Bezug auf die Achſe M B_n+1 gleich groß ſein müſſen.
Der Schwerpunkt des Dreiecks B_n C B_n+1 iſt der Punkt S
und der Schwerpunkt des Dreiecks B_n M B_n+1 liegt in der
Ordinate des Punktes E, ⅓ l_n von dem Auflager B_n+1
entfernt. Es iſt demnach
[Formel 6] oder
[Formel 7]

Der Linienzug C H K M ergiebt ſonach die Lage des
Punktes M, wodurch ein Punkt R der unbekannten Geraden
W Z beſtimmt iſt. Den zweiten Punkt T erhält man durch
eine analoge Conſtruction, indem man den Druck der Bela-
[Spaltenumbruch]
ſtungsflächen auf die Stütze B_n+1 in Betracht zieht. Man
findet, daß der Linienzug C G J L den Punkt L und die
Gerade L B_n+1 den zweiten unbekannten Punkt T ergiebt.

Die abſcheerende Verticalkraft iſt gleich der erſten
Abgeleiteten
[Formel 8] derjenigen Function, welche die Beziehung zwiſchen dem Bie-
gungsmoment M und der horizontalen Abſciſſe x ausdrückt.
Aus Fig. 48) erſieht man, daß der conſtante Werth von [Formel 9]
auf der Strecke A B_n zu demjenigen auf der Strecke A B_n+1
ſich verhält wie
[Formel 10]

Trägt man alſo in Fig. 49) die Belaſtung P des Punktes
A nach irgend einem Maaßſtabe gleich den Längen P = U D
= C V auf, ſo iſt B_n H F A E G B_n+1 die graphiſche Dar-
ſtellung der abſcheerenden Kräfte.

Die Fig. 50 Blatt 399 enthält die Conſtruction der Fig. 48
für ſieben Punkte, welche die Länge l_n der Oeffnung in ſechs
gleiche Theile eintheilen. Die Buchſtaben haben in beiden Fi-
guren gleiche Bedeutung, nur iſt in Fig. 50) jedem Buchſtaben
die Ziffer angefügt, welche dem belaſteten Punkt A entſpricht.
Zur Vereinfachung der Conſtruction iſt in Fig. 50) angenom-
men, daß die von den Ordinaten A C gemeſſenen poſitiven
Momente ſämmtlich gleich groß ſeien. Die Wendepunkte U
und V beſchreiben unter dieſer Annahme die punktirten Hy-
perbeln und die Linie W Z dreht ſich um den feſten Punkt
P. Nimmt man dagegen an, daß ein conſtantes Gewicht P
über die Oeffnung ſich bewegt, ſo iſt das von der Ordinate
A C gemeſſene poſitive Moment gleich
[Formel 11] wenn x die horizontale Entfernung der Belaſtung P von der
Stütze B_n bezeichnet. Der Punkt C beſchreibt alsdann die
in Fig. 51) punktirte Parabel. Die Abſciſſen der Wende-
punkte U und V bleiben dieſelben wie in Fig. 50) und dadurch
iſt die Lage der Linien W Z in Fig. 51) beſtimmt. Eine
beſſere Ueberſicht über die Biegungsmomente erhält man, wenn
man nach Fig. 51) die Beziehungen, welche zwiſchen den Bie-
gungsmomenten in den Punkten A₀, A₁, A₂ ...... und
der Abſciſſe x der Belaſtung P ſtattfinden, in einer beſonderen
Figur (Fig. 52) graphiſch darſtellt. Die Ordinate der Curve
B_n 2 2 B_n+1 ergiebt alſo z. B. das Biegungsmoment im Punkte
A₂, wenn die Belaſtung P in der das Biegungsmoment dar-
ſtellenden Ordinate wirkt. Die Ordinaten dieſer Curve in
den Theilpunkten 1, 2, 3, 4, 5 müſſen offenbar gleich den
fünf in Fig. 51) auf der Ordinate A₂ C₂ dargeſtellten Bie-
gungsmomenten aufgetragen werden.