Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
leicht die Lage derjenigen Belaſtung, welche in einem
beliebigen Punkte jener zwei Strecken ein Biegungsmo-
ment gleich Null hervorruft. Die Lage dieſer Belaſtung
theilt die Oeffnung in zwei Strecken, deren Belaſtun-
gen entgegengeſetzte Biegungsmomente in dem betrach-
teten Punkt erzeugen. Beiſpielsweiſe iſt die Ordinate
von C₂ die Belaſtungsſcheide für den Punkt A₅, denn
auf der Ordinate von A₅ liegt — zufällig — der Wende-
punkt V₂, und man erſieht aus der in Fig. 52) mit der
Ziffer 5 bezeichneten Curve, daß alle Belaſtungen links
von C₂ negative und alle Belaſtungen rechts von dieſem
Punkte poſitive Biegungsmomente in dem Punkte A₅
erzeugen.

4) Jeder Punkt A der Linie B_n B_n+1 theilt die Oeffnung
l_n in zwei Strecken, deren Belaſtungen abſcheerende
Kräfte von entgegengeſetzten Richtungen in dem Punkt A
erzeugen. Die Maxima der abſcheerenden Kräfte werden
alſo hervorgerufen, wenn eine jener beiden Strecken
von der größtmöglichen Laſt bedeckt iſt.

5) Die Fig. 52) giebt das Mittel, um die Maxima der
poſitiven und negativen Biegungsmomente, welche von
einer Belaſtung p pro Längeneinheit erzeugt werden
können, zu beſtimmen, denn dieſe Maxima ſind offen-
bar proportional den Flächen, welche zwiſchen den Cur-
ven der Fig. 52) und der Abſciſſenachſe liegen; z. B.
iſt das poſitive Maximalmoment in dem Punkte A₁ pro-
portional der poſitiven Fläche — oberhalb der Abſciſſen-
achſe — zwiſchen der Curve 1 1 … und der Achſe
B_n B_n+1 und das negative Maximalmoment jenes
Punktes iſt proportional der Fläche unterhalb der Achſe.
Jene Flächen in Fig. 52 ſind mit dem Planimeter ge-
meſſen und ihre Werthe als Ordinaten in Fig. 53) zu
einer graphiſchen Darſtellung zuſammengeſtellt. Da die
Maximalmomente zwiſchen N_n und O_n bei voller Be-
laſtung der ganzen Länge l_n eintreten, ſo iſt der Cur-
venzweig J D₃ K eine Parabel, und zwar ein Theil
der Curve E₀ D₃ E₆, welche die Biegungsmomente bei
voller Belaſtung der Oeffnung graphiſch darſtellt ^*).

Die Curvenzweige B_n D₁ J und K D₅ B_n+1 ergeben
die poſitiven Maximalmomente für den übrigen Theil der
Oeffnung. Dieſe Curven tangiren die Abſciſſenachſe und die
Parabel E₀ D₃ E₆ und können ohne erheblichen Fehler als
Parabeln gezeichnet werden, deren verticale Achſen durch die
[Spaltenumbruch]
Stützpunkte gehen. Die Ordinaten der Curve E₀ E₁ N_n und
O_n E₅ E₆ ergeben die negativen Maximalmomente. Dieſe
Curven tangiren ebenfalls die Abſciſſenachſe und die Parabel
E₀ D₃ E₆ und können als Parabeln gezeichnet werden, deren
verticale Achſen durch die Fixpunkte N_n und O_n gehen.

In Fig. 54) ſind nach Anleitung der Fig. 49) die ab-
ſcheerenden Kräfte conſtruirt, welche innerhalb der n^ten Oeff-
nung erzeugt werden, wenn eine Einzellaſt von der Größe
A₀ D₀ in einem der ſieben Theilpunkte der n^ten Oeffnung
des im Uebrigen unbelaſteten Trägers angebracht wird. Die
Curve D₀ A₆ theilt die von den Ordinaten A D dargeſtellten
Belaſtungen in die beiden Theile A F und D F, welche die ab-
ſcheerenden Kräfte links und rechts von dem belaſteten Punkte
darſtellen. Beachtet man, daß die Curve D₀ A₆ für einen nicht
continuirlichen, an ſeinen Enden frei unterſtützten Träger in die
gerade Linie D₀ A₆ übergeht, ſo erkennt man aus Fig. 54)
leicht den Einfluß der Continuität in Bezug auf die Bildung
der abſcheerenden Kräfte. Mit Hülfe dieſer Figur laſſen ſich
ferner die Maxima der von einer continuirlichen Belaſtung
erzeugten abſcheerenden Kräfte beſtimmen. Dieſe Maxima treten
ein, wenn eine der beiden Strecken zwiſchen dem betrachteten
Punkte und den zwei Nachbarſtützen von der Laſt bedeckt iſt.
Wird die Belaſtung pro Längeneinheit durch die Ordinate
A₀ D₀ dargeſtellt, ſo ſind, wenn z. B. die Maxima der ab-
ſcheerenden Kräfte für den Punkt A₂ beſtimmt werden ſollen,
A₀ D₀ D₂ A₂ und A₂ D₂ A₆ D₆ die in Frage kommenden
Belaſtungsflächen, und die abſcheerende Verticalkraft wird im
erſten Falle von der Fläche + D₀ D₂ F₂ und im zweiten
Belaſtungsfalle von der Fläche — A₂ F₂ A₆ dargeſtellt.
Zwiſchen dieſen beiden Grenzen variirt die von der beweg-
lichen Belaſtung der n^ten Oeffnung in dem Punkte A₂ er-
zeugte abſcheerende Verticalkraft. In Fig. 55) wird die
erſtere Fläche durch die Ordinate A₂ G₂ und die Fläche
A₂ F₂ A₆ durch die Ordinate A₂ H₂ dargeſtellt. Indem auch
für die übrigen Theilpunkte die entſprechenden Flächen berech-
net und als Ordinaten aufgetragen wurden, entſtanden die
Curven A₀ G₆ und H₀ A₆. Zur Vervollſtändigung der Dar-
ſtellung wurden die beiden geraden Linien A₀ J₆ und K₀ A₆
aufgetragen, deren Ordinaten die Größen der Belaſtungen
darſtellen, von welchen jene abſcheerenden Kräfte erzeugt wer-
den. Wenn alſo der Anfangspunkt der mobilen Belaſtung
von A₀ nach A₆ ſich bewegt, ſo wächſt die Belaſtung der
Oeffnung wie die Ordinate der geraden Linie A₀ J₆, und die
abſcheerende Verticalkraft im Anfangspunkt der Laſt wie die
Ordinate der Curve A₀ G₆; die Gerade A₆ K₀ und die
Curve A₆ H₀ geben dieſelbe Darſtellung für den Fall, daß
der Anfangspunkt der Laſt von A₆ nach A₀ ſich bewegt. In
der Regel wird es genügen, die beiden abſcheerenden Kräfte
über den Stützen
[Formel 1]

*) Macht man (Fig. 53) G H = 4/3 H D₃, ſo erzeugt die Bela-
ſtungsfläche E₀ G E₆ dieſelben Auflagerdrücke, wie die Parabelfläche
E₀ D₃ E₆; die Wendepunkte der Biegungscurve, welche der Belaſtungs-
fläche E₀ G E₆ entſprechen, müſſen in den Verticalen der Wendepunkte
U₃ und V₃ in Fig. 50 und 51 liegen. Ferner folgt aus den Betrach-
tungen, welche den Figuren 40 und 41 zu Grunde liegen, daß die
Geraden E₀ D₃ und E₆ D₃ in Fig. 53) durch die Fixpunkte N_n und O_n
gehen müſſen. Dieſe Bedingungen ſind als Controle für die Richtig-
keit der Zeichnung benutzt.