Auch kann die Gleichung
[Formel 1]
= o in manchen Fällen gar keine Werthe von x zu geben scheinen, für welche y ein Größtes oder Kleinstes würde, und doch kann es dergleichen geben, wie die Betrachtung der Funktion y ausweiset.
Um dies durch ein Beyspiel zu erläutern, so sey die Funktion y = b + sqrt3 (a -- x)2.
Hier ist sogleich von selbst klar, daß x = a die Funktion y = b zu einem Kleinsten macht, weil, wenn man statt x einen etwas größeren oder kleine- ren Werth als a nimmt, man die benachbarten Werthe von y nämlich y', y'' > b findet. Näm- lich für x = a + c erhält man y'' = b + sqrt3 (-- c)2 = b + sqrt3 (+ c2), und für x = a -- c, wird y' = b + sqrt3 (+ c2), mithin y', y'' beyde größer als b; daher y = b ein Kleinstes.
Würde man aber dies auf dem gewöhnlichen Wege durch
[Formel 2]
= o suchen wollen, so würde man seines Zwecks verfehlen, weil
[Formel 3]
im Zähler die veränderliche Größe x nicht mehr ent- hält, so daß man durch Nullsetzung dieses Zählers
eine
U 2
Differenzialrechnung.
Auch kann die Gleichung
[Formel 1]
= o in manchen Faͤllen gar keine Werthe von x zu geben ſcheinen, fuͤr welche y ein Groͤßtes oder Kleinſtes wuͤrde, und doch kann es dergleichen geben, wie die Betrachtung der Funktion y ausweiſet.
Um dies durch ein Beyſpiel zu erlaͤutern, ſo ſey die Funktion y = b + √3 (a — x)2.
Hier iſt ſogleich von ſelbſt klar, daß x = a die Funktion y = b zu einem Kleinſten macht, weil, wenn man ſtatt x einen etwas groͤßeren oder kleine- ren Werth als a nimmt, man die benachbarten Werthe von y naͤmlich y', y'' > b findet. Naͤm- lich fuͤr x = a + c erhaͤlt man y'' = b + √3 (— c)2 = b + √3 (+ c2), und fuͤr x = a — c, wird y' = b + √3 (+ c2), mithin y', y'' beyde groͤßer als b; daher y = b ein Kleinſtes.
Wuͤrde man aber dies auf dem gewoͤhnlichen Wege durch
[Formel 2]
= o ſuchen wollen, ſo wuͤrde man ſeines Zwecks verfehlen, weil
[Formel 3]
im Zaͤhler die veraͤnderliche Groͤße x nicht mehr ent- haͤlt, ſo daß man durch Nullſetzung dieſes Zaͤhlers
eine
U 2
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Differenzialrechnung.
Auch kann die Gleichung [FORMEL] = o in manchen
Faͤllen gar keine Werthe von x zu geben ſcheinen,
fuͤr welche y ein Groͤßtes oder Kleinſtes wuͤrde, und
doch kann es dergleichen geben, wie die Betrachtung
der Funktion y ausweiſet.
Um dies durch ein Beyſpiel zu erlaͤutern, ſo
ſey die Funktion y = b + √3 (a — x)2.
Hier iſt ſogleich von ſelbſt klar, daß x = a die
Funktion y = b zu einem Kleinſten macht, weil,
wenn man ſtatt x einen etwas groͤßeren oder kleine-
ren Werth als a nimmt, man die benachbarten
Werthe von y naͤmlich y', y'' > b findet. Naͤm-
lich fuͤr x = a + c erhaͤlt man y'' = b + √3 (— c)2
= b + √3 (+ c2), und fuͤr x = a — c, wird
y' = b + √3 (+ c2), mithin y', y'' beyde groͤßer
als b; daher y = b ein Kleinſtes.
Wuͤrde man aber dies auf dem gewoͤhnlichen
Wege durch [FORMEL] = o ſuchen wollen, ſo wuͤrde man
ſeines Zwecks verfehlen, weil [FORMEL]
im Zaͤhler die veraͤnderliche Groͤße x nicht mehr ent-
haͤlt, ſo daß man durch Nullſetzung dieſes Zaͤhlers
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Mayer, Johann Tobias: Vollständiger Lehrbegriff der höhern Analysis. Bd. 1. Göttingen, 1818, S. 307. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mayer_analysis01_1818/325>, abgerufen am 23.11.2024.
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