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Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883.

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Zweites Kapitel.
mechanische Gebilde (von 5 Dimensionen) nur ähnlich
nennen, wenn sowol die homologen Lineardimensionen
als die Zeiten und die Massen in demselben Verhält-
niss stünden. Passender würden die Gebilde zuein-
ander affin genannt.

Wir wollen aber den Namen phoronomisch ähnliche
Gebilde beibehalten, und bei der zunächst folgenden
Betrachtung von den Massen ganz absehen.

Es sollen also bei zwei ähnlichen Bewegungen die
homologen Wege sein: s und [a]s,

die homologen Zeiten: t und [b]t, dann sind

die homologen Ge-
schwindigkeiten: und [Formel 2]

die homologen Be-
schleunigungen: [Formel 3] und [Formel 4]

Leicht erkennen wir nun die Schwingungen, welche
ein Körper unter den oben angenommenen Verhält-
nissen mit zwei verschiedenen Amplitüden 1 und [a] aus-
führt, als ähnliche Bewegungen. Bemerken wir nun,
dass das Verhältniss der homologen Beschleunigungen
[Formel 5] ist, so finden wir [Formel 6] , und das Verhältniss
der homologen Zeiten, also auch der Schwingungs-
zeiten, [Formel 7] . Es ergibt sich also die Unabhängig-
keit der Schwingungsdauer von der Schwingungsweite.

Setzen wir bei zwei schwingenden Bewegungen das
Amplitüdenverhältniss 1:[a]
und das Beschleunigungsverhältniss 1:[am]#,
so finden wir [Formel 8] , folglich [Formel 9] ,
womit das zweite Schwingungsgesetz wiedergefun-
den ist.

Zwei gleichförmige Kreisbewegungen sind stets pho-
ronomisch ähnlich. Es sei das Radienverhältniss 1:[a]
und das Geschwindigkeitsverhältniss 1:[g].

Zweites Kapitel.
mechanische Gebilde (von 5 Dimensionen) nur ähnlich
nennen, wenn sowol die homologen Lineardimensionen
als die Zeiten und die Massen in demselben Verhält-
niss stünden. Passender würden die Gebilde zuein-
ander affin genannt.

Wir wollen aber den Namen phoronomisch ähnliche
Gebilde beibehalten, und bei der zunächst folgenden
Betrachtung von den Massen ganz absehen.

Es sollen also bei zwei ähnlichen Bewegungen die
homologen Wege sein: s und [α]s,

die homologen Zeiten: t und [β]t, dann sind

die homologen Ge-
schwindigkeiten: und [Formel 2]

die homologen Be-
schleunigungen: [Formel 3] und [Formel 4]

Leicht erkennen wir nun die Schwingungen, welche
ein Körper unter den oben angenommenen Verhält-
nissen mit zwei verschiedenen Amplitüden 1 und [α] aus-
führt, als ähnliche Bewegungen. Bemerken wir nun,
dass das Verhältniss der homologen Beschleunigungen
[Formel 5] ist, so finden wir [Formel 6] , und das Verhältniss
der homologen Zeiten, also auch der Schwingungs-
zeiten, [Formel 7] . Es ergibt sich also die Unabhängig-
keit der Schwingungsdauer von der Schwingungsweite.

Setzen wir bei zwei schwingenden Bewegungen das
Amplitüdenverhältniss 1:[α]
und das Beschleunigungsverhältniss 1:[αμ]#,
so finden wir [Formel 8] , folglich [Formel 9] ,
womit das zweite Schwingungsgesetz wiedergefun-
den ist.

Zwei gleichförmige Kreisbewegungen sind stets pho-
ronomisch ähnlich. Es sei das Radienverhältniss 1:[α]
und das Geschwindigkeitsverhältniss 1:[γ].

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[154/0166] Zweites Kapitel. mechanische Gebilde (von 5 Dimensionen) nur ähnlich nennen, wenn sowol die homologen Lineardimensionen als die Zeiten und die Massen in demselben Verhält- niss stünden. Passender würden die Gebilde zuein- ander affin genannt. Wir wollen aber den Namen phoronomisch ähnliche Gebilde beibehalten, und bei der zunächst folgenden Betrachtung von den Massen ganz absehen. Es sollen also bei zwei ähnlichen Bewegungen die homologen Wege sein: s und αs, die homologen Zeiten: t und βt, dann sind die homologen Ge- schwindigkeiten: [FORMEL] und [FORMEL] die homologen Be- schleunigungen: [FORMEL] und [FORMEL] Leicht erkennen wir nun die Schwingungen, welche ein Körper unter den oben angenommenen Verhält- nissen mit zwei verschiedenen Amplitüden 1 und α aus- führt, als ähnliche Bewegungen. Bemerken wir nun, dass das Verhältniss der homologen Beschleunigungen [FORMEL] ist, so finden wir [FORMEL], und das Verhältniss der homologen Zeiten, also auch der Schwingungs- zeiten, [FORMEL]. Es ergibt sich also die Unabhängig- keit der Schwingungsdauer von der Schwingungsweite. Setzen wir bei zwei schwingenden Bewegungen das Amplitüdenverhältniss 1:α und das Beschleunigungsverhältniss 1:αμ#, so finden wir [FORMEL], folglich [FORMEL], womit das zweite Schwingungsgesetz wiedergefun- den ist. Zwei gleichförmige Kreisbewegungen sind stets pho- ronomisch ähnlich. Es sei das Radienverhältniss 1:α und das Geschwindigkeitsverhältniss 1:γ.

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Zitationshilfe: Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883, S. 154. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mach_mechanik_1883/166>, abgerufen am 25.11.2024.