Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883.
Die Entwickelung der Principien der Dynamik. und II (Fig. 109) von gleicher Excursion vor. In II soll aberderselben Entfernung von O die vierfache Beschleunigung entsprechen. Wir theilen die ganzen Schwingungs- weiten AO und O'A'=OA in eine gleiche sehr grosse Anzahl Theile. Diese Theile in I und II fallen gleich aus. Die Anfangsbeschleunigungen in A und A' sind [ph] und 4[ph], die Wegelemente AB=A'B'=s, und die Zeiten beziehungsweise [t] und [t]'. Wir finden [Formel 1] . Das Element A'B' wird also in der Hälfte der Zeit durchlaufen wie das Element AB. Die Endgeschwindigkeiten v und v' in B und B' ergeben sich durch [Formel 2] und [Formel 3] . Da also die Anfangsgeschwindig- keiten in B und B' sich wie 1:2, die Beschleunigungen wieder wie 1:4 verhalten, so wird das folgende Ele- ment in II wieder in der halben Zeit zurückgelegt wie das entsprechende in I. Verallgemeinernd findet man: Die Schwingungsdauer ist der Wurzel aus der Beschleunigung bei gleicher gegebener Excursion umgekehrt pro- portional. 9. Die eben ausgeführten Be- [Abbildung]
Fig. 109. trachtungen können sehr gekürzt und übersichtlich ge-staltet werden mit Hülfe einer zuerst von Newton an- gewendeten Anschauungsweise. Newton nennt ähn- liche materielle Systeme solche, welche geometrisch ähnliche Conformationen haben, und deren homologe Massen in demselben Verhältniss stehen. Er sagt fer- ner, dass solche Systeme ähnliche Bewegungen aus- führen, wenn die homologen Punkte ähnliche Bahnen in proportionalen Zeiten beschreiben. Entsprechend der heutigen geometrischen Terminologie dürfte man solche Die Entwickelung der Principien der Dynamik. und II (Fig. 109) von gleicher Excursion vor. In II soll aberderselben Entfernung von O die vierfache Beschleunigung entsprechen. Wir theilen die ganzen Schwingungs- weiten AO und O′A′=OA in eine gleiche sehr grosse Anzahl Theile. Diese Theile in I und II fallen gleich aus. Die Anfangsbeschleunigungen in A und A′ sind [φ] und 4[φ], die Wegelemente AB=A′B′=s, und die Zeiten beziehungsweise [τ] und [τ]′. Wir finden [Formel 1] . Das Element A′B′ wird also in der Hälfte der Zeit durchlaufen wie das Element AB. Die Endgeschwindigkeiten v und v′ in B und B′ ergeben sich durch [Formel 2] und [Formel 3] . Da also die Anfangsgeschwindig- keiten in B und B′ sich wie 1:2, die Beschleunigungen wieder wie 1:4 verhalten, so wird das folgende Ele- ment in II wieder in der halben Zeit zurückgelegt wie das entsprechende in I. Verallgemeinernd findet man: Die Schwingungsdauer ist der Wurzel aus der Beschleunigung bei gleicher gegebener Excursion umgekehrt pro- portional. 9. Die eben ausgeführten Be- [Abbildung]
Fig. 109. trachtungen können sehr gekürzt und übersichtlich ge-staltet werden mit Hülfe einer zuerst von Newton an- gewendeten Anschauungsweise. Newton nennt ähn- liche materielle Systeme solche, welche geometrisch ähnliche Conformationen haben, und deren homologe Massen in demselben Verhältniss stehen. Er sagt fer- ner, dass solche Systeme ähnliche Bewegungen aus- führen, wenn die homologen Punkte ähnliche Bahnen in proportionalen Zeiten beschreiben. Entsprechend der heutigen geometrischen Terminologie dürfte man solche <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0165" n="153"/><fw place="top" type="header">Die Entwickelung der Principien der Dynamik.</fw><lb/> und II (Fig. 109) von gleicher Excursion vor. In II soll aber<lb/> derselben Entfernung von <hi rendition="#i">O</hi> die vierfache Beschleunigung<lb/> entsprechen. Wir theilen die ganzen Schwingungs-<lb/> weiten <hi rendition="#g"><hi rendition="#i">AO</hi></hi> und <hi rendition="#g"><hi rendition="#i">O′A′=OA</hi></hi> in eine gleiche sehr<lb/> grosse Anzahl Theile. Diese Theile in I und II fallen<lb/> gleich aus. Die Anfangsbeschleunigungen in <hi rendition="#i">A</hi> und <hi rendition="#i">A′</hi><lb/> sind <supplied>φ</supplied> und <hi rendition="#g">4<supplied>φ</supplied></hi>, die Wegelemente <hi rendition="#g"><hi rendition="#i">AB=A′B′=s</hi></hi>, und<lb/> die Zeiten beziehungsweise <supplied>τ</supplied> und <supplied>τ</supplied>′. Wir finden<lb/><formula/>. Das Element <hi rendition="#g"><hi rendition="#i">A′B′</hi></hi><lb/> wird also in der Hälfte der Zeit durchlaufen wie das<lb/> Element <hi rendition="#g"><hi rendition="#i">AB</hi></hi>. Die Endgeschwindigkeiten <hi rendition="#i">v</hi> und <hi rendition="#i">v′</hi> in<lb/><hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">B′</hi> ergeben sich durch<lb/><formula/> und <formula/>.<lb/> Da also die Anfangsgeschwindig-<lb/> keiten in <hi rendition="#i">B</hi> und <hi rendition="#i">B′</hi> sich wie 1:2,<lb/> die Beschleunigungen wieder wie 1:4<lb/> verhalten, so wird das folgende Ele-<lb/> ment in II wieder in der halben Zeit<lb/> zurückgelegt wie das entsprechende<lb/> in I. Verallgemeinernd findet man:<lb/> Die Schwingungsdauer ist der Wurzel<lb/> aus der Beschleunigung bei gleicher<lb/> gegebener Excursion umgekehrt pro-<lb/> portional.</p><lb/> <p>9. Die eben ausgeführten Be-<lb/><figure><head><hi rendition="#i">Fig. 109.</hi></head></figure><lb/> trachtungen können sehr gekürzt und übersichtlich ge-<lb/> staltet werden mit Hülfe einer zuerst von Newton an-<lb/> gewendeten Anschauungsweise. Newton nennt <hi rendition="#g">ähn-<lb/> liche</hi> materielle Systeme solche, welche geometrisch<lb/> ähnliche Conformationen haben, und deren homologe<lb/> Massen in demselben Verhältniss stehen. Er sagt fer-<lb/> ner, dass solche Systeme ähnliche Bewegungen aus-<lb/> führen, wenn die homologen Punkte ähnliche Bahnen<lb/> in proportionalen Zeiten beschreiben. Entsprechend der<lb/> heutigen geometrischen Terminologie dürfte man solche<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [153/0165]
Die Entwickelung der Principien der Dynamik.
und II (Fig. 109) von gleicher Excursion vor. In II soll aber
derselben Entfernung von O die vierfache Beschleunigung
entsprechen. Wir theilen die ganzen Schwingungs-
weiten AO und O′A′=OA in eine gleiche sehr
grosse Anzahl Theile. Diese Theile in I und II fallen
gleich aus. Die Anfangsbeschleunigungen in A und A′
sind φ und 4φ, die Wegelemente AB=A′B′=s, und
die Zeiten beziehungsweise τ und τ′. Wir finden
[FORMEL]. Das Element A′B′
wird also in der Hälfte der Zeit durchlaufen wie das
Element AB. Die Endgeschwindigkeiten v und v′ in
B und B′ ergeben sich durch
[FORMEL] und [FORMEL].
Da also die Anfangsgeschwindig-
keiten in B und B′ sich wie 1:2,
die Beschleunigungen wieder wie 1:4
verhalten, so wird das folgende Ele-
ment in II wieder in der halben Zeit
zurückgelegt wie das entsprechende
in I. Verallgemeinernd findet man:
Die Schwingungsdauer ist der Wurzel
aus der Beschleunigung bei gleicher
gegebener Excursion umgekehrt pro-
portional.
9. Die eben ausgeführten Be-
[Abbildung Fig. 109.]
trachtungen können sehr gekürzt und übersichtlich ge-
staltet werden mit Hülfe einer zuerst von Newton an-
gewendeten Anschauungsweise. Newton nennt ähn-
liche materielle Systeme solche, welche geometrisch
ähnliche Conformationen haben, und deren homologe
Massen in demselben Verhältniss stehen. Er sagt fer-
ner, dass solche Systeme ähnliche Bewegungen aus-
führen, wenn die homologen Punkte ähnliche Bahnen
in proportionalen Zeiten beschreiben. Entsprechend der
heutigen geometrischen Terminologie dürfte man solche
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