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Lange, Max: Lehrbuch des Schachspiels. Halle (Saale), 1856.

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Waizenboden angenommen nahe an 76 mal grösser sein
müsste; -- zu dessen Fortschaffung wenigstens 625499948245
vierspännige Wagen erforderlich wären, die über 231666
mal rund um die Erde reichten; -- und wenn man den
Kornhaufen zu Gelde, den Wispel nur zu 50 Thalern
rechnet, so würden nicht weniger als 2085000 Jahresein-
künfte eines Staates, welcher 30 Millionen Thaler Ein-
kommen hat, dazu gehören, um den Werth desselben zu
bezahlen. -- Für Mathematiker fügen wir noch folgende
von uns berechnete kürzeste Methode, jene Endsumme zu
finden, hier an. Da das 2. Feld 2 Körner, jedes folgende
aber das Doppelte enthalten soll, so lässt sich die Zahl
auf jedem folgenden Feld als die nächst höhere Potenz der
Zahl zwei im Verhältniss zu derjenigen des vorhergehen-
den Feldes betrachten; so kommen auf das 3. Feld 4 = 22
Körner, auf das 4. Feld aber 8 = 23 also auf das 64. Feld
263 Körner. Nun ist 2 = 21, folglich 2 + 21 = 21 + 21; da
aber letztere Summe 4 = 22 ist, so ist auch 2 + 21 = 22.
Man addire auf beiden Seiten den Werth 22 so hat man
2 + 21 + 22 = 22 + 22 = 2 (22) = 23. Addirt man hier wie-
der 23, so erhält man 2 + 21 + 22 + 23 = 23 + 23 = 2 (23)
= 24. Setzt man dies Verfahren weiter fort, so findet
man endlich
[Formel 1] also
[Formel 2] .
Somit ist die Summe sämmtlicher Potenzen von 2 mit
von 1 an aufsteigenden Exponenten der natürlichen Zahlen-
reihe gleich der nächst höheren Potenz als die höchste
jener einzelnen Potenzen von 2 und zwar vermindert um
die Zahl 2 selbst. Daraus folgt, dass die Summe aller
Potenzen von 2 mit dem Exponenten von 1 bis 63 gleich
der um 2 verminderten 64. Potenz von 2 ist. Zu dieser
Summe kommt noch das auf dem ersten Felde des Brettes
befindliche 1 Korn hinzu, so dass sich schliesslich als die
zu berechnende Zahl der Werth 264--1 herausstellt. Zur
Berechnung der 64. Potenz der Zahl 2 bemerke man zu-
nächst, dass 264 = 2(8 x 8) = (28)8 ist. Nun ist 28 = (22)4
= (42)2 = 162 = 256. Folglich wird 264 = (256)8 = (2564)2
Nun ist 2564 = (2562)2 und 2562 = 256 x 256 = 65536. Daher
ist 2564 = (65536)2 = 42949667296. Folglich wird
264 = (2564)2 = 42949672962 = 18446744073709551616;
davon geht 1 ab, so dass die letzte 6 sich in 5 verwandelt
und die oben angegebene Zahl sich ergiebt.

§. 153. Aus Indien verbreitete sich das Spiel zunächst
nach China, wie die Chinesen, welche es um das Jahr 537
erhalten haben wollen, selbst zugeben. Nicht unwahrschein-
lich ist, dass das Spiel dann von China aus über Tibet,
Bengalen, Indostan nach Persien wanderte. Sicher ist
wenigstens, dass die Perser um das Jahr 600, zur Zeit des
Königs (Coshra) Nuschirvan, es aus der indischen Stadt Ka-
nosse nach ihrem Lande herübergezogen haben. Von den

Waizenboden angenommen nahe an 76 mal grösser sein
müsste; — zu dessen Fortschaffung wenigstens 625499948245
vierspännige Wagen erforderlich wären, die über 231666
mal rund um die Erde reichten; — und wenn man den
Kornhaufen zu Gelde, den Wispel nur zu 50 Thalern
rechnet, so würden nicht weniger als 2085000 Jahresein-
künfte eines Staates, welcher 30 Millionen Thaler Ein-
kommen hat, dazu gehören, um den Werth desselben zu
bezahlen. — Für Mathematiker fügen wir noch folgende
von uns berechnete kürzeste Methode, jene Endsumme zu
finden, hier an. Da das 2. Feld 2 Körner, jedes folgende
aber das Doppelte enthalten soll, so lässt sich die Zahl
auf jedem folgenden Feld als die nächst höhere Potenz der
Zahl zwei im Verhältniss zu derjenigen des vorhergehen-
den Feldes betrachten; so kommen auf das 3. Feld 4 = 22
Körner, auf das 4. Feld aber 8 = 23 also auf das 64. Feld
263 Körner. Nun ist 2 = 21, folglich 2 + 21 = 21 + 21; da
aber letztere Summe 4 = 22 ist, so ist auch 2 + 21 = 22.
Man addire auf beiden Seiten den Werth 22 so hat man
2 + 21 + 22 = 22 + 22 = 2 (22) = 23. Addirt man hier wie-
der 23, so erhält man 2 + 21 + 22 + 23 = 23 + 23 = 2 (23)
= 24. Setzt man dies Verfahren weiter fort, so findet
man endlich
[Formel 1] also
[Formel 2] .
Somit ist die Summe sämmtlicher Potenzen von 2 mit
von 1 an aufsteigenden Exponenten der natürlichen Zahlen-
reihe gleich der nächst höheren Potenz als die höchste
jener einzelnen Potenzen von 2 und zwar vermindert um
die Zahl 2 selbst. Daraus folgt, dass die Summe aller
Potenzen von 2 mit dem Exponenten von 1 bis 63 gleich
der um 2 verminderten 64. Potenz von 2 ist. Zu dieser
Summe kommt noch das auf dem ersten Felde des Brettes
befindliche 1 Korn hinzu, so dass sich schliesslich als die
zu berechnende Zahl der Werth 264—1 herausstellt. Zur
Berechnung der 64. Potenz der Zahl 2 bemerke man zu-
nächst, dass 264 = 2(8 × 8) = (28)8 ist. Nun ist 28 = (22)4
= (42)2 = 162 = 256. Folglich wird 264 = (256)8 = (2564)2
Nun ist 2564 = (2562)2 und 2562 = 256 × 256 = 65536. Daher
ist 2564 = (65536)2 = 42949667296. Folglich wird
264 = (2564)2 = 42949672962 = 18446744073709551616;
davon geht 1 ab, so dass die letzte 6 sich in 5 verwandelt
und die oben angegebene Zahl sich ergiebt.

§. 153. Aus Indien verbreitete sich das Spiel zunächst
nach China, wie die Chinesen, welche es um das Jahr 537
erhalten haben wollen, selbst zugeben. Nicht unwahrschein-
lich ist, dass das Spiel dann von China aus über Tibet,
Bengalen, Indostan nach Persien wanderte. Sicher ist
wenigstens, dass die Perser um das Jahr 600, zur Zeit des
Königs (Coshra) Nuschirvân, es aus der indischen Stadt Ka-
nosse nach ihrem Lande herübergezogen haben. Von den

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[100/0112] Waizenboden angenommen nahe an 76 mal grösser sein müsste; — zu dessen Fortschaffung wenigstens 625499948245 vierspännige Wagen erforderlich wären, die über 231666 mal rund um die Erde reichten; — und wenn man den Kornhaufen zu Gelde, den Wispel nur zu 50 Thalern rechnet, so würden nicht weniger als 2085000 Jahresein- künfte eines Staates, welcher 30 Millionen Thaler Ein- kommen hat, dazu gehören, um den Werth desselben zu bezahlen. — Für Mathematiker fügen wir noch folgende von uns berechnete kürzeste Methode, jene Endsumme zu finden, hier an. Da das 2. Feld 2 Körner, jedes folgende aber das Doppelte enthalten soll, so lässt sich die Zahl auf jedem folgenden Feld als die nächst höhere Potenz der Zahl zwei im Verhältniss zu derjenigen des vorhergehen- den Feldes betrachten; so kommen auf das 3. Feld 4 = 22 Körner, auf das 4. Feld aber 8 = 23 also auf das 64. Feld 263 Körner. Nun ist 2 = 21, folglich 2 + 21 = 21 + 21; da aber letztere Summe 4 = 22 ist, so ist auch 2 + 21 = 22. Man addire auf beiden Seiten den Werth 22 so hat man 2 + 21 + 22 = 22 + 22 = 2 (22) = 23. Addirt man hier wie- der 23, so erhält man 2 + 21 + 22 + 23 = 23 + 23 = 2 (23) = 24. Setzt man dies Verfahren weiter fort, so findet man endlich [FORMEL] also [FORMEL]. Somit ist die Summe sämmtlicher Potenzen von 2 mit von 1 an aufsteigenden Exponenten der natürlichen Zahlen- reihe gleich der nächst höheren Potenz als die höchste jener einzelnen Potenzen von 2 und zwar vermindert um die Zahl 2 selbst. Daraus folgt, dass die Summe aller Potenzen von 2 mit dem Exponenten von 1 bis 63 gleich der um 2 verminderten 64. Potenz von 2 ist. Zu dieser Summe kommt noch das auf dem ersten Felde des Brettes befindliche 1 Korn hinzu, so dass sich schliesslich als die zu berechnende Zahl der Werth 264—1 herausstellt. Zur Berechnung der 64. Potenz der Zahl 2 bemerke man zu- nächst, dass 264 = 2(8 × 8) = (28)8 ist. Nun ist 28 = (22)4 = (42)2 = 162 = 256. Folglich wird 264 = (256)8 = (2564)2 Nun ist 2564 = (2562)2 und 2562 = 256 × 256 = 65536. Daher ist 2564 = (65536)2 = 42949667296. Folglich wird 264 = (2564)2 = 42949672962 = 18446744073709551616; davon geht 1 ab, so dass die letzte 6 sich in 5 verwandelt und die oben angegebene Zahl sich ergiebt. §. 153. Aus Indien verbreitete sich das Spiel zunächst nach China, wie die Chinesen, welche es um das Jahr 537 erhalten haben wollen, selbst zugeben. Nicht unwahrschein- lich ist, dass das Spiel dann von China aus über Tibet, Bengalen, Indostan nach Persien wanderte. Sicher ist wenigstens, dass die Perser um das Jahr 600, zur Zeit des Königs (Coshra) Nuschirvân, es aus der indischen Stadt Ka- nosse nach ihrem Lande herübergezogen haben. Von den

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Zitationshilfe: Lange, Max: Lehrbuch des Schachspiels. Halle (Saale), 1856, S. 100. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/lange_schachspiel_1856/112>, abgerufen am 22.11.2024.