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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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trägt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf
ebene Geometrie.

Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen
bestehenden Raumes, welche die Kugel in sich überführen,
liegt es nahe, entweder die Gesammtheit der linearen Trans-
formationen des Raumes, oder die Gesammtheit der Ebenen-
Transformationen des Raumes zu wählen, welche die Ku-
gel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der
Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der
anzuwendenden Transformationen absehen. Die erste Ver-
allgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und wir
mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung
für ebene Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen
wir hernach zurück, wobei es sich denn zunächst darum
handelt, die allgemeinste betreffende Transformation zu be-
stimmen.

Die linearen Transformationen des Raumes haben die
Eigenschaft gemein, Ebenenbüschel und Ebenenbündel wie-
der in solche überzuführen. Aber auf die Kugel übertra-
gen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. eine
einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen
Schnittpunkten; das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel,
d. h. eine zweifach unendliche Schaar von Kreisen, die
auf einem festen Kreise senkrecht stehen (dem Kreise, des-
sen Ebene die Polarebene des den Ebenen des geg. Bün-
dels gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transforma-
tionen des Raumes entsprechen also auf der Kugel und
weiterhin in der Ebene Kreistransformationen von der cha-
racteristischen Eigenschaft, Kreisbüschel und Kreisbündel
in ebensolche überzuführen 1). Die ebene Geometrie
welche die Gruppe der so gewonnenen Trans-
formationen benutzt, ist das Bild der gewöhn-
lichen projectivischen Raumgeometrie. Als Ele-
ment der Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den
Punct benutzen können, da die Puncte für die gewählte

1) Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmann's
Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, p. 278).

trägt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf
ebene Geometrie.

Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen
bestehenden Raumes, welche die Kugel in sich überführen,
liegt es nahe, entweder die Gesammtheit der linearen Trans-
formationen des Raumes, oder die Gesammtheit der Ebenen-
Transformationen des Raumes zu wählen, welche die Ku-
gel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der
Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der
anzuwendenden Transformationen absehen. Die erste Ver-
allgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und wir
mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung
für ebene Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen
wir hernach zurück, wobei es sich denn zunächst darum
handelt, die allgemeinste betreffende Transformation zu be-
stimmen.

Die linearen Transformationen des Raumes haben die
Eigenschaft gemein, Ebenenbüschel und Ebenenbündel wie-
der in solche überzuführen. Aber auf die Kugel übertra-
gen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. eine
einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen
Schnittpunkten; das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel,
d. h. eine zweifach unendliche Schaar von Kreisen, die
auf einem festen Kreise senkrecht stehen (dem Kreise, des-
sen Ebene die Polarebene des den Ebenen des geg. Bün-
dels gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transforma-
tionen des Raumes entsprechen also auf der Kugel und
weiterhin in der Ebene Kreistransformationen von der cha-
racteristischen Eigenschaft, Kreisbüschel und Kreisbündel
in ebensolche überzuführen 1). Die ebene Geometrie
welche die Gruppe der so gewonnenen Trans-
formationen benutzt, ist das Bild der gewöhn-
lichen projectivischen Raumgeometrie. Als Ele-
ment der Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den
Punct benutzen können, da die Puncte für die gewählte

1) Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmann’s
Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, p. 278).
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[25/0033] trägt sich dann durch die Abbildung ohne Weiteres auf ebene Geometrie. Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes, welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die Gesammtheit der linearen Trans- formationen des Raumes, oder die Gesammtheit der Ebenen- Transformationen des Raumes zu wählen, welche die Ku- gel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden Transformationen absehen. Die erste Ver- allgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und wir mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung für ebene Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen wir hernach zurück, wobei es sich denn zunächst darum handelt, die allgemeinste betreffende Transformation zu be- stimmen. Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft gemein, Ebenenbüschel und Ebenenbündel wie- der in solche überzuführen. Aber auf die Kugel übertra- gen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d. h. eine einfach unendliche Reihe von Kreisen mit gemeinsamen Schnittpunkten; das Ebenenbündel ergibt ein Kreisbündel, d. h. eine zweifach unendliche Schaar von Kreisen, die auf einem festen Kreise senkrecht stehen (dem Kreise, des- sen Ebene die Polarebene des den Ebenen des geg. Bün- dels gemeinsamen Punctes ist). Den linearen Transforma- tionen des Raumes entsprechen also auf der Kugel und weiterhin in der Ebene Kreistransformationen von der cha- racteristischen Eigenschaft, Kreisbüschel und Kreisbündel in ebensolche überzuführen 1). Die ebene Geometrie welche die Gruppe der so gewonnenen Trans- formationen benutzt, ist das Bild der gewöhn- lichen projectivischen Raumgeometrie. Als Ele- ment der Ebene wird man in dieser Geometrie nicht den Punct benutzen können, da die Puncte für die gewählte 1) Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmann’s Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, p. 278).

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 25. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/33>, abgerufen am 24.11.2024.