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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Transformationsgruppe keinen Körper bilden (§. 5), son-
dern man wird die Kreise als Elemente wählen.

Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es
zunächst die Frage nach der Art der bez. Transformations-
gruppe erledigen. Es handelt sich darum, Ebenen-Trans-
formationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel, des-
sen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bün-
del machen. Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise
wegen zunächst die Frage dualistisch umkehren und über-
dies einen Schritt in der Zahl der Dimensionen hinab
gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der
Ebene fragen, welche aus jeder Tangente eines gegebenen
Kegelschnittes wiederum eine Tangente erzeugen. Zu dem
Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem Kegelschnitte
als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem
nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die
Ebene projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Ueber-
gangscurve vorstellt. Den Tangenten des Kegelschnitt's
entsprechen die Erzeugenden der Fläche, und die Frage
ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der
Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen
die Erzeugenden Erzeugende bleiben.

Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig
unendlich viele: denn man braucht nur den Punct der
Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden zweierlei Art zu
betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in sich
zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind
insbesondere die linearen. Nur auf diese wollen wir ach-
ten. Hätten wir nämlich nicht mit einer Fläche, sondern
mit einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu thun,
die durch eine quadratische Gleichung repräsentirt wird,
so blieben nur die linearen Transformationen, die anderen
kämen in Wegfall 1).

1) Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält
man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon
im Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe
der reciproken Radien befinden, keine conformen Puncttransformationen.
In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele andere. Vergl. auch die
citirten Arbeiten von Lie.

Transformationsgruppe keinen Körper bilden (§. 5), son-
dern man wird die Kreise als Elemente wählen.

Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es
zunächst die Frage nach der Art der bez. Transformations-
gruppe erledigen. Es handelt sich darum, Ebenen-Trans-
formationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel, des-
sen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bün-
del machen. Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise
wegen zunächst die Frage dualistisch umkehren und über-
dies einen Schritt in der Zahl der Dimensionen hinab
gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der
Ebene fragen, welche aus jeder Tangente eines gegebenen
Kegelschnittes wiederum eine Tangente erzeugen. Zu dem
Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem Kegelschnitte
als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem
nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die
Ebene projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Ueber-
gangscurve vorstellt. Den Tangenten des Kegelschnitt’s
entsprechen die Erzeugenden der Fläche, und die Frage
ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der
Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen
die Erzeugenden Erzeugende bleiben.

Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig
unendlich viele: denn man braucht nur den Punct der
Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden zweierlei Art zu
betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in sich
zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind
insbesondere die linearen. Nur auf diese wollen wir ach-
ten. Hätten wir nämlich nicht mit einer Fläche, sondern
mit einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu thun,
die durch eine quadratische Gleichung repräsentirt wird,
so blieben nur die linearen Transformationen, die anderen
kämen in Wegfall 1).

1) Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält
man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon
im Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe
der reciproken Radien befinden, keine conformen Puncttransformationen.
In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele andere. Vergl. auch die
citirten Arbeiten von Lie.
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[26/0034] Transformationsgruppe keinen Körper bilden (§. 5), son- dern man wird die Kreise als Elemente wählen. Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst die Frage nach der Art der bez. Transformations- gruppe erledigen. Es handelt sich darum, Ebenen-Trans- formationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel, des- sen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bün- del machen. Wir mögen der kürzeren Ausdrucksweise wegen zunächst die Frage dualistisch umkehren und über- dies einen Schritt in der Zahl der Dimensionen hinab gehen; wir wollen also nach Puncttransformationen der Ebene fragen, welche aus jeder Tangente eines gegebenen Kegelschnittes wiederum eine Tangente erzeugen. Zu dem Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem Kegelschnitte als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Ueber- gangscurve vorstellt. Den Tangenten des Kegelschnitt’s entsprechen die Erzeugenden der Fläche, und die Frage ist auf die andere zurückgeführt nach der Gesammtheit der Puncttransformationen der Fläche in sich selbst, bei denen die Erzeugenden Erzeugende bleiben. Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele: denn man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden zweierlei Art zu betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in sich zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind insbesondere die linearen. Nur auf diese wollen wir ach- ten. Hätten wir nämlich nicht mit einer Fläche, sondern mit einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit zu thun, die durch eine quadratische Gleichung repräsentirt wird, so blieben nur die linearen Transformationen, die anderen kämen in Wegfall 1). 1) Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe der reciproken Radien befinden, keine conformen Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 26. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/34>, abgerufen am 24.11.2024.