Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. dem Flächeninhalt Q desjenigen Theiles der betreffenden Potentialfläche, derinnerhalb des Raumes S liegt. Also wird worin Q als Function des Werthes von Ps anzusehen ist. Wenn nun Q überall endlich ist, darf die Differenz ePs0 -- ePs1, innerhalb deren die Variable sich ändert, nur von der Ordnung e sein, da der Werth von Ks von der Ordnung e ist. Oder es muss, wenn ePs0 -- ePs1 endlich ist, innerhalb dieses Intervalles Q von der Ordnung e sein. Da nun nach unserer Voraussetzung der Raum S nicht eine solche Gestalt haben darf, dass man ihn durch eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlichem Volumen theilen kann, wie das z. B. der Fall sein würde, wenn er aus zwei durch ein röhrenförmiges Stück verbundenen Hohlräumen bestände, so folgt aus dem Gesagten, dass nur in un- endlich kleinen Theilen desselben, und namentlich auch nur in unendlich klei- nen Theilen seiner Oberfläche, der Werth von ePs um eine endliche Grösse von einem constanten Werthe C abweichen könne. Nach diesen Bemerkungen reducirt sich die Gleichung (28.) auf Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. dem Flächeninhalt Q desjenigen Theiles der betreffenden Potentialfläche, derinnerhalb des Raumes S liegt. Also wird worin Q als Function des Werthes von Ψ anzusehen ist. Wenn nun Q überall endlich ist, darf die Differenz εΨ0 — εΨ1, innerhalb deren die Variable sich ändert, nur von der Ordnung η sein, da der Werth von Ξ von der Ordnung η ist. Oder es muſs, wenn εΨ0 — εΨ1 endlich ist, innerhalb dieses Intervalles Q von der Ordnung η sein. Da nun nach unserer Voraussetzung der Raum S nicht eine solche Gestalt haben darf, daſs man ihn durch eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlichem Volumen theilen kann, wie das z. B. der Fall sein würde, wenn er aus zwei durch ein röhrenförmiges Stück verbundenen Hohlräumen bestände, so folgt aus dem Gesagten, daſs nur in un- endlich kleinen Theilen desselben, und namentlich auch nur in unendlich klei- nen Theilen seiner Oberfläche, der Werth von εΨ um eine endliche Gröſse von einem constanten Werthe C abweichen könne. Nach diesen Bemerkungen reducirt sich die Gleichung (28.) auf <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0076" n="66"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren</hi>.</fw><lb/> dem Flächeninhalt <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Q</hi></hi> desjenigen Theiles der betreffenden Potentialfläche, der<lb/> innerhalb des Raumes <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> liegt. Also wird<lb/><formula notation="TeX">\Xi = \epsilon\int_{\Psi_0}^{\Psi_1}Qd\Psi</formula>,<lb/> worin <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Q</hi></hi> als Function des Werthes von Ψ anzusehen ist. Wenn nun <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Q</hi></hi> überall<lb/> endlich ist, darf die Differenz εΨ<hi rendition="#sub">0</hi> — εΨ<hi rendition="#sub">1</hi>, innerhalb deren die Variable sich<lb/> ändert, nur von der Ordnung η sein, da der Werth von Ξ von der Ordnung η<lb/> ist. 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Deshalb ist:<lb/><formula notation="TeX">-\tfrac{1}{3}\int r\frac{dr}{dn}d\omega = S</formula>.<lb/> Setzen wir jetzt voraus, der Raum <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">S</hi></hi> habe eine Oeffnung, die in einem nahe-<lb/> hin ebenen Theile der Wand gelegen sei, dessen Ebene wir äuſserlich un-<lb/> endlich verlängert und den freien Raum nach einer Seite begrenzend voraus-<lb/> setzen, wählen wir wie früher diese Ebene als Ebene der <hi rendition="#i">yz</hi> und verlegen den<lb/> Anfangspunkt der Coordinaten in die Oeffnung selbst. Nehmen wir ferner an,<lb/> daſs die Vibrationen des Hohlraumes erregt werden durch einen Schallwellen-<lb/> zug, der gegen die Oeffnung schlägt. Wir müssen nun an der Oeffnung den<lb/> Werth von Ψ so bestimmen, daſs er auſsen und innen continuirlich wird und<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [66/0076]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
dem Flächeninhalt Q desjenigen Theiles der betreffenden Potentialfläche, der
innerhalb des Raumes S liegt. Also wird
[FORMEL],
worin Q als Function des Werthes von Ψ anzusehen ist. Wenn nun Q überall
endlich ist, darf die Differenz εΨ0 — εΨ1, innerhalb deren die Variable sich
ändert, nur von der Ordnung η sein, da der Werth von Ξ von der Ordnung η
ist. Oder es muſs, wenn εΨ0 — εΨ1 endlich ist, innerhalb dieses Intervalles Q
von der Ordnung η sein. Da nun nach unserer Voraussetzung der Raum S
nicht eine solche Gestalt haben darf, daſs man ihn durch eine unendlich kleine
Schnittfläche in zwei Theile von endlichem Volumen theilen kann, wie das
z. B. der Fall sein würde, wenn er aus zwei durch ein röhrenförmiges Stück
verbundenen Hohlräumen bestände, so folgt aus dem Gesagten, daſs nur in un-
endlich kleinen Theilen desselben, und namentlich auch nur in unendlich klei-
nen Theilen seiner Oberfläche, der Werth von εΨ um eine endliche Gröſse
von einem constanten Werthe C abweichen könne.
Nach diesen Bemerkungen reducirt sich die Gleichung (28.) auf
(28c.) [FORMEL].
Wenn wir nämlich die vom Punkte α, β, γ auf die Tangentialebene von dω
gefällte Normale n nennen, ist [FORMEL], und [FORMEL] gleich
dem Volumen eines Kegels, dessen Grundfläche dω und dessen Spitze α, β, γ
ist. Deshalb ist:
[FORMEL].
Setzen wir jetzt voraus, der Raum S habe eine Oeffnung, die in einem nahe-
hin ebenen Theile der Wand gelegen sei, dessen Ebene wir äuſserlich un-
endlich verlängert und den freien Raum nach einer Seite begrenzend voraus-
setzen, wählen wir wie früher diese Ebene als Ebene der yz und verlegen den
Anfangspunkt der Coordinaten in die Oeffnung selbst. Nehmen wir ferner an,
daſs die Vibrationen des Hohlraumes erregt werden durch einen Schallwellen-
zug, der gegen die Oeffnung schlägt. Wir müssen nun an der Oeffnung den
Werth von Ψ so bestimmen, daſs er auſsen und innen continuirlich wird und
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