Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

ε² von gleicher Ordnung mit $\frac{k^2r}{\eta^2}$ sein muſs, so erhält man:
(28^a.) $\epsilon^2\int\int\int\left[\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2\right]dx dy dz$
$= -\epsilon^2\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega + k^2\epsilon^2\int\int\int\Psi^2 dx dy dz$.
Da nun die Integrale auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwindend
klein von der Ordnung η² sind, so ist es auch das dreifache Integral links.
Da hier aber unter dem Integralzeichen eine überall positive Gröſse steht, so
können die Werthe von $\epsilon\frac{d\Psi}{dx}$, $\epsilon\frac{d\Psi}{dy}$ und $\epsilon\frac{d\Psi}{dz}$ im Allgemeinen selbst nur
von derselben Ordnung kleiner Gröſsen wie η sein, oder wenigstens nur in
Theilen des Raumes S, welche selbst von der Ordnung η² sind, endlich werden.

Nun denke man die Flächen construirt, welche der Gleichung
Ψ = Const.
entsprechen, und für den Theil des Raumes S, welcher zwischen zwei be-
liebigen solchen Flächen liegt, bilde man das Integral
(28^b.) $\epsilon\int\int\int\sqrt{\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2} dx dy dz = \Xi$.
Nach dem Vorausgesagten kann dies Integral nur von derselben Ordnung
kleiner Gröſsen wie η sein. Man kann nun die Integration so ausführen, daſs
man zuerst diejenigen Theile des Integrals zusammennimmt, welche zwischen
zwei unendlich nahen Potentialflächen liegen. Es sei dω ein Flächenelement
einer solchen Fläche, in der das Potential den Werth Ψ hat, dn die Ent-
fernung zwischen dω und der nächsten Fläche, an der der Werth des Po-
tentials Ψ + dΨ ist, dann ist dω dn ein Element des Volumens und
$\sqrt{\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2} d\omega dn = d\Psid\omega$,
also
$\Xi = \epsilon\int_{\Psi_0}^{\Psi_1}d\Psi\int d\omega$,
wenn Ψ₀ und Ψ₁ die Werthe von Ψ an den äuſsersten Potentialflächen sind,
zwischen denen man integrirt. Für jeden Werth von Ψ ist nun ∫dω gleich

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