Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

im Innern in einer gegen die Dimensionen der Oeffnung groſsen Entfernung
in den constanten Werth Ccos (2πnt) übergeht.

Es sei h eine Gröſse, welche in verschiedenen Punkten der Oeffnung
der Röhre verschiedene Werthe hat Wir setzen, indem wir die Integration
über die Fläche der Oeffnung ausdehnen, für den freien Raum
(29.) $\Psi = \int h\frac{\cos(kr - 2\pi nt)}{r}d\omega + H\cos kx\cos(2\pi nt) + J\cos kx \sin(2\pi nt)$.
Dieses Geschwindigkeitspotential stellt einen Zug ebener Wellen dar, die an
der yz-Ebene reflectirt sich in stehende verwandeln, und ein System fort-
schreitender Wellen, welche von der Oeffnung ausgehen. Statt der unendlich
ausgedehnten ebenen Wellen läſst sich übrigens ebenso gut die etwas allge-
meinere Voraussetzung der Gleichung (16.) hier anwenden, daſs nämlich die
Wellen von einem weit von der Oeffnung entfernten tönenden Punkte aus-
gehen, dann bekommen sie, wie dort gezeigt, dicht vor der Oeffnung die in
(29.) angenommene Form.

An der yz-Ebene ist auſserhalb der Oeffnung $\frac{d\Psi}{dx} = 0$, in der Oeffnung
(29^a.) $\frac{d\overline{\Psi}}{dx} = -2\pi h\cos(2\pi nt)$
und annähernd
(29^b.) $\overline{\Psi} = \left[\int\frac{h}{r}d\omega+H\right]\cos(2\pi nt) + \left[k\int hd\omega + J\right]\sin(2\pi nt)$.
Innerhalb des Raumes S setzen wir dagegen
(29^c.) $\Psi = \left[C-\int\frac{h\cos kr}{r}d\omega\right]\cos(2\pi nt)$.
Dann ist in der Oeffnung
(29^d.) $\frac{d\overline{\Psi}}{dx} = -2\pi h\cos(2\pi nt)$,
(29^e.) $\overline{\Psi} = \left[C-\int\frac{hd\omega}{r}\right]\cos(2\pi nt)$.
Die Werthe von $\frac{d\overline{\Psi}}{dx}$ aus (29^a.) und (29^d.) sind identisch. Damit auch die
von Ψ̄ aus (29^b.) und (29^e.) identisch seien, muſs sein:
(29^f.) $J + k\int hd\omega = 0$,
(29^g.) $C - H = 2\int\frac{hd\omega}{r}$.

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