Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Dies in die obige Gleichung eingeführt giebt:
(28.) $\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega = \frac{k^2}{2.3}\int\frac{d\Psi}{dn}r^2d\omega-\frac{k^2}{3}\int\Psi r\frac{dr}{dn}d\omega$.
Nehmen wir jetzt an der Raum S sei von einer festen Wand umgeben, in
der nur eine oder einige Oeffnungen seien, an der festen Begrenzung sei
überall $\frac{d\Psi}{dn} = 0$, in den sämmtlichen Oeffnungen aber habe $\frac{d\Psi}{dn}$ endliche posi-
tive Werthe. Das Verhältniſs der Fläche sämmtlicher Oeffnungen zur ganzen
Oberfläche des Raumes S sei η²:1, und η eine verschwindend kleine Gröſse,
so ist das Integral $\int\frac{d\Psi}{dn}d\omega$ von derselben Ordnung kleiner Gröſsen wie η²,
das erste Integral rechts $\frac{k^2}{2.3}\int\frac{d\Psi}{dn}r^2d\omega$ aber von der Ordnung k²r²η², also
zu vernachlässigen. Lassen wir nun k immer mehr sich der Null nähern, so
muſs dabei offenbar das Integral $\int\Psi r\frac{dr}{dn}d\omega$ und also auch die Function Ψ
selbst immer gröſser und gröſser werden. Bezeichnen wir k²Ψ mit χ, so
würde χ eine Function sein, die bei abnehmendem k von constanter Gröſsen-
ordnung bleibt, und in eine Function übergeht, welche der Differentialgleichung
∇χ = 0 in ganzer Ausdehnung des Raumes S genügt, und für welche an der
ganzen Oberfläche des Raumes S $\frac{d\chi}{dn} = 0$. Daraus folgt nach den bekannten
Sätzen über electrische Potentialfunctionen, daſs χ im ganzen Raume S con-
stant sein müsse.

Dem entsprechend wollen wir nun zeigen, daſs, wenn die Dimensionen
des Raumes S überall endlich sind, d. h. wenn man den Raum S nicht durch
eine unendlich kleine Schnittfläche in zwei Theile von endlicher Gröſse zer-
legen kann, daſs dann Ψ höchstens in unendlich kleinen Theilen des Raumes S
von der Ordnung η² sich um endliche Theile seiner Gröſse von einer Con-
stanten C unterscheiden könne. Wenn Ψ und seine ersten Differentialquo-
tienten nämlich, wie es hier sein soll, innerhalb S überall continuirlich und
eindeutig sind, so ist, wie bekannt:
$\int\int\int\left[\left(\frac{d\Psi}{dx}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dy}\right)^2+\left(\frac{d\Psi}{dz}\right)^2\right]dx dy dz = -\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\int\int\Psi\nabla\Psi dx dy dz$,
wo die dreifachen Integrale über den ganzen Raum S auszudehnen sind.
Berücksichtigt man, daſs k²Ψ + ∇Ψ = 0, und denkt man sich weiter beide
Seiten der Gleichung mit einer constanten Gröſse ε² multiplicirt, die so ge-
wählt sein soll, daſs ε² Ψ eine endliche Gröſse ist, wozu nach Gleichung (28.)