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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation.
schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produkt
von n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn
eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen
lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann
nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also
statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird.

§ 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine
Satz, dass,

"wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer
derselben zerstückt ist, und zwar so, dass alle Faktoren und
Stücke demselben Systeme n-ter Stufe angehören, die multi-
plikative Beziehung noch fortbesteht."

Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1)
Strecken a, b, .... p, q demselben Systeme n-ter Stufe angehören
sollen. Zuerst wollen wir annehmen, dass ein Stück des letzten
Faktors nebst den sämmtlichen übrigen Faktoren n unabhängige
Strecken darstellen, d. h. dass sie nicht einem System niederer
Stufe (als der n-ten) angehören sollen. Als dies Stück des letz-
ten Faktors sei p angenommen, so muss nach § 20 sich q als
eine Summe von Stücken darstellen lassen, welche jenen Strecken
gleichartig sind, also
[Formel 1] gesetzt werden können, wenn a1, b1, .... p1 beziehlich den Stre-
cken a, b, ... p gleichartig sind. Dann hat man, da a1, b1, ...,
als den übrigen Faktoren des Produktes a. b... (p+q) gleichartig,
in dem letzten weggelassen werden können,
[Formel 2] und dies ist nach § 32, da p und p1 gleichartig sind,
[Formel 3] oder da man in dem letzteren Produkte wieder dem Faktor p1 die
Summanden a1 + b1 + ... hinzufügen, also statt p1 wieder q setzen
kann, so hat man
[Formel 4] .
Die Gültigkeit dieser Gleichung ist zunächst nur bewiesen für den
Fall, dass a, b,... und eine der Strecken p oder q von einander
unabhängig sind, sind hingegen a, b,.... von einander abhängig,
oder diese zwar unabhängig, aber beide Strecken p und q, also

§ 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation.
schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produkt
von n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn
eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen
lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann
nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also
statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird.

§ 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine
Satz, dass,

„wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer
derselben zerstückt ist, und zwar so, dass alle Faktoren und
Stücke demselben Systeme n-ter Stufe angehören, die multi-
plikative Beziehung noch fortbesteht.“

Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1)
Strecken a, b, .... p, q demselben Systeme n-ter Stufe angehören
sollen. Zuerst wollen wir annehmen, dass ein Stück des letzten
Faktors nebst den sämmtlichen übrigen Faktoren n unabhängige
Strecken darstellen, d. h. dass sie nicht einem System niederer
Stufe (als der n-ten) angehören sollen. Als dies Stück des letz-
ten Faktors sei p angenommen, so muss nach § 20 sich q als
eine Summe von Stücken darstellen lassen, welche jenen Strecken
gleichartig sind, also
[Formel 1] gesetzt werden können, wenn a1, b1, .... p1 beziehlich den Stre-
cken a, b, ... p gleichartig sind. Dann hat man, da a1, b1, ...,
als den übrigen Faktoren des Produktes a. b... (p+q) gleichartig,
in dem letzten weggelassen werden können,
[Formel 2] und dies ist nach § 32, da p und p1 gleichartig sind,
[Formel 3] oder da man in dem letzteren Produkte wieder dem Faktor p1 die
Summanden a1 + b1 + ... hinzufügen, also statt p1 wieder q setzen
kann, so hat man
[Formel 4] .
Die Gültigkeit dieser Gleichung ist zunächst nur bewiesen für den
Fall, dass a, b,... und eine der Strecken p oder q von einander
unabhängig sind, sind hingegen a, b,.... von einander abhängig,
oder diese zwar unabhängig, aber beide Strecken p und q, also

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[59/0095] § 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation. schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produkt von n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird. § 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine Satz, dass, „wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer derselben zerstückt ist, und zwar so, dass alle Faktoren und Stücke demselben Systeme n-ter Stufe angehören, die multi- plikative Beziehung noch fortbesteht.“ Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1) Strecken a, b, .... p, q demselben Systeme n-ter Stufe angehören sollen. Zuerst wollen wir annehmen, dass ein Stück des letzten Faktors nebst den sämmtlichen übrigen Faktoren n unabhängige Strecken darstellen, d. h. dass sie nicht einem System niederer Stufe (als der n-ten) angehören sollen. Als dies Stück des letz- ten Faktors sei p angenommen, so muss nach § 20 sich q als eine Summe von Stücken darstellen lassen, welche jenen Strecken gleichartig sind, also [FORMEL] gesetzt werden können, wenn a1, b1, .... p1 beziehlich den Stre- cken a, b, ... p gleichartig sind. Dann hat man, da a1, b1, ..., als den übrigen Faktoren des Produktes a. b... (p+q) gleichartig, in dem letzten weggelassen werden können, [FORMEL] und dies ist nach § 32, da p und p1 gleichartig sind, [FORMEL] oder da man in dem letzteren Produkte wieder dem Faktor p1 die Summanden a1 + b1 + ... hinzufügen, also statt p1 wieder q setzen kann, so hat man [FORMEL]. Die Gültigkeit dieser Gleichung ist zunächst nur bewiesen für den Fall, dass a, b,... und eine der Strecken p oder q von einander unabhängig sind, sind hingegen a, b,.... von einander abhängig, oder diese zwar unabhängig, aber beide Strecken p und q, also

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 59. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/95>, abgerufen am 02.05.2024.