Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation. schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produktvon n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird. § 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine "wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1) § 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation. schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produktvon n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird. § 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine „wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1) <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0095" n="59"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">§ 36</hi> Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation.</fw><lb/> schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produkt<lb/> von n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn<lb/> eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen<lb/> lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann<lb/> nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also<lb/> statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird.</p><lb/> <p>§ 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine<lb/> Satz, dass,</p><lb/> <cit> <quote> <hi rendition="#et">„wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer<lb/> derselben zerstückt ist, und zwar so, dass alle Faktoren und<lb/> Stücke demselben Systeme n-ter Stufe angehören, die multi-<lb/> plikative Beziehung noch fortbesteht.“</hi> </quote> </cit><lb/> <p>Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1)<lb/> Strecken a, b, .... p, q demselben Systeme n-ter Stufe angehören<lb/> sollen. Zuerst wollen wir annehmen, dass ein Stück des letzten<lb/> Faktors nebst den sämmtlichen übrigen Faktoren n unabhängige<lb/> Strecken darstellen, d. h. dass sie nicht einem System niederer<lb/> Stufe (als der n-ten) angehören sollen. Als dies Stück des letz-<lb/> ten Faktors sei p angenommen, so muss nach § 20 sich q als<lb/> eine Summe von Stücken darstellen lassen, welche jenen Strecken<lb/> gleichartig sind, also<lb/><formula/> gesetzt werden können, wenn a<hi rendition="#sub">1</hi>, b<hi rendition="#sub">1</hi>, .... p<hi rendition="#sub">1</hi> beziehlich den Stre-<lb/> cken a, b, ... p gleichartig sind. Dann hat man, da a<hi rendition="#sub">1</hi>, b<hi rendition="#sub">1</hi>, ...,<lb/> als den übrigen Faktoren des Produktes a. b... (p+q) gleichartig,<lb/> in dem letzten weggelassen werden können,<lb/><formula/> und dies ist nach § 32, da p und p<hi rendition="#sub">1</hi> gleichartig sind,<lb/><formula/> oder da man in dem letzteren Produkte wieder dem Faktor p<hi rendition="#sub">1</hi> die<lb/> Summanden a<hi rendition="#sub">1</hi> + b<hi rendition="#sub">1</hi> + ... hinzufügen, also statt p<hi rendition="#sub">1</hi> wieder q setzen<lb/> kann, so hat man<lb/><formula/>.<lb/> Die Gültigkeit dieser Gleichung ist zunächst nur bewiesen für den<lb/> Fall, dass a, b,... und eine der Strecken p oder q von einander<lb/> unabhängig sind, sind hingegen a, b,.... von einander abhängig,<lb/> oder diese zwar unabhängig, aber beide Strecken p und q, also<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [59/0095]
§ 36 Hauptgesetze der aeusseren Multiplikation.
schon nach § 32. aus dem Begriffe hervorging, dass das Produkt
von n Strecken, die von einander abhängig sind, null ist; denn
eine derselben muss sich dann als Summe von Stücken darstellen
lassen, die den andern gleichartig sind; und diese kann man dann
nach dem eben erwiesenen Satze in dem Produkte weglassen; also
statt jener Summe null setzen, wodurch das Produkt selbst null wird.
§ 36. Aus dem Hauptsatze des vorigen § folgt der allgemeine
Satz, dass,
„wenn in einem Produkte von n einfachen Faktoren einer
derselben zerstückt ist, und zwar so, dass alle Faktoren und
Stücke demselben Systeme n-ter Stufe angehören, die multi-
plikative Beziehung noch fortbesteht.“
Denn es sei a. b...... (p+q) dies Produkt, in welchem die (n+1)
Strecken a, b, .... p, q demselben Systeme n-ter Stufe angehören
sollen. Zuerst wollen wir annehmen, dass ein Stück des letzten
Faktors nebst den sämmtlichen übrigen Faktoren n unabhängige
Strecken darstellen, d. h. dass sie nicht einem System niederer
Stufe (als der n-ten) angehören sollen. Als dies Stück des letz-
ten Faktors sei p angenommen, so muss nach § 20 sich q als
eine Summe von Stücken darstellen lassen, welche jenen Strecken
gleichartig sind, also
[FORMEL] gesetzt werden können, wenn a1, b1, .... p1 beziehlich den Stre-
cken a, b, ... p gleichartig sind. Dann hat man, da a1, b1, ...,
als den übrigen Faktoren des Produktes a. b... (p+q) gleichartig,
in dem letzten weggelassen werden können,
[FORMEL] und dies ist nach § 32, da p und p1 gleichartig sind,
[FORMEL] oder da man in dem letzteren Produkte wieder dem Faktor p1 die
Summanden a1 + b1 + ... hinzufügen, also statt p1 wieder q setzen
kann, so hat man
[FORMEL].
Die Gültigkeit dieser Gleichung ist zunächst nur bewiesen für den
Fall, dass a, b,... und eine der Strecken p oder q von einander
unabhängig sind, sind hingegen a, b,.... von einander abhängig,
oder diese zwar unabhängig, aber beide Strecken p und q, also
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 59. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/95>, abgerufen am 03.09.2024. |