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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Multiplikation der Strecken. § 35
erhält man mit Anwendung des so eben erwiesenen Gesetzes, und
weil P.a.a.Q und P.b.b.Q ebenfalls null sind,
[Formel 1] Ich werde dies merkwürdige Resultat nachher noch ausführlicher
durchgehen, um jetzt zu den wichtigen Folgerungen überzugehen,
welche aus diesem Vertauschungsgesetze fliessen. Es ergiebt sich
daraus, dass, wenn ein einfacher Faktor (so nennen wir nämlich
einen Faktor, der eine Ausdehnung erster Stufe oder eine Strecke
darstellt), zwei solche Faktoren überspringt, das Produkt gleiches
Zeichen behält, indem die zweimalige Aenderung des Vorzeichens
wieder zu dem ursprünglichen Vorzeichen zurückführt, also auch,
dass überhaupt, wenn ein einfacher Faktor eine gerade Anzahl ein-
facher Faktoren überspringt, das Vorzeichen des Produktes das-
selbe bleibt, hingegen, wenn eine ungerade, sich in das entgegen-
gesetzte verwandeln muss, sobald der ganze Ausdruck denselben
Werth behalten soll. Somit müssen die Gesetze, welche für zwei
an einander gränzende Faktoren gelten, auch für getrennte fortbe-
stehen; denn man kann den einen der beiden getrennten Faktoren
an den andern heranrücken, wobei sich das Vorzeichen entweder
ändert oder nicht, je nachdem er dabei eine ungerade oder gerade
Anzahl einfacher Faktoren überspringt, kann nun die Gesetze, die
für zwei an einander gränzende Faktoren gelten, anwenden, und
dann in allen Produkten wieder jenen Faktor auf seine alte Stelle
zurückrücken, wobei das Vorzeichen offenbar jedesmal wieder das
ursprüngliche werden muss *). Also wenn irgend zwei einfache
Faktoren eines Produktes aus Stücken bestehen, welche demselben
Systeme zweiter Stufe angehören, so gilt das Beziehungsgesetz der
Multiplikation zur Addition, und da, wenn zwei einfache Faktoren
gleichartig werden, nach § 33. das Produkt null ist, so folgt, dass
man Stücke, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind, aus
einem Faktor weglassen oder ihm hinzufügen kann, ohne den
Werth des Produktes zu ändern. Daraus folgt sogleich, was auch

*) Denn änderte es sich vorher nicht, so ändert es sich auch jetzt nicht, da
der Faktor wieder dieselbe Faktorenzahl überspringt; änderte es sich vorher aber,
so ändert es sich jetzt wieder (aus demselben Grunde), wird also wieder das
ursprüngliche.

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 35
erhält man mit Anwendung des so eben erwiesenen Gesetzes, und
weil P.a.a.Q und P.b.b.Q ebenfalls null sind,
[Formel 1] Ich werde dies merkwürdige Resultat nachher noch ausführlicher
durchgehen, um jetzt zu den wichtigen Folgerungen überzugehen,
welche aus diesem Vertauschungsgesetze fliessen. Es ergiebt sich
daraus, dass, wenn ein einfacher Faktor (so nennen wir nämlich
einen Faktor, der eine Ausdehnung erster Stufe oder eine Strecke
darstellt), zwei solche Faktoren überspringt, das Produkt gleiches
Zeichen behält, indem die zweimalige Aenderung des Vorzeichens
wieder zu dem ursprünglichen Vorzeichen zurückführt, also auch,
dass überhaupt, wenn ein einfacher Faktor eine gerade Anzahl ein-
facher Faktoren überspringt, das Vorzeichen des Produktes das-
selbe bleibt, hingegen, wenn eine ungerade, sich in das entgegen-
gesetzte verwandeln muss, sobald der ganze Ausdruck denselben
Werth behalten soll. Somit müssen die Gesetze, welche für zwei
an einander gränzende Faktoren gelten, auch für getrennte fortbe-
stehen; denn man kann den einen der beiden getrennten Faktoren
an den andern heranrücken, wobei sich das Vorzeichen entweder
ändert oder nicht, je nachdem er dabei eine ungerade oder gerade
Anzahl einfacher Faktoren überspringt, kann nun die Gesetze, die
für zwei an einander gränzende Faktoren gelten, anwenden, und
dann in allen Produkten wieder jenen Faktor auf seine alte Stelle
zurückrücken, wobei das Vorzeichen offenbar jedesmal wieder das
ursprüngliche werden muss *). Also wenn irgend zwei einfache
Faktoren eines Produktes aus Stücken bestehen, welche demselben
Systeme zweiter Stufe angehören, so gilt das Beziehungsgesetz der
Multiplikation zur Addition, und da, wenn zwei einfache Faktoren
gleichartig werden, nach § 33. das Produkt null ist, so folgt, dass
man Stücke, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind, aus
einem Faktor weglassen oder ihm hinzufügen kann, ohne den
Werth des Produktes zu ändern. Daraus folgt sogleich, was auch

*) Denn änderte es sich vorher nicht, so ändert es sich auch jetzt nicht, da
der Faktor wieder dieselbe Faktorenzahl überspringt; änderte es sich vorher aber,
so ändert es sich jetzt wieder (aus demselben Grunde), wird also wieder das
ursprüngliche.
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[58/0094] Aeussere Multiplikation der Strecken. § 35 erhält man mit Anwendung des so eben erwiesenen Gesetzes, und weil P.a.a.Q und P.b.b.Q ebenfalls null sind, [FORMEL] Ich werde dies merkwürdige Resultat nachher noch ausführlicher durchgehen, um jetzt zu den wichtigen Folgerungen überzugehen, welche aus diesem Vertauschungsgesetze fliessen. Es ergiebt sich daraus, dass, wenn ein einfacher Faktor (so nennen wir nämlich einen Faktor, der eine Ausdehnung erster Stufe oder eine Strecke darstellt), zwei solche Faktoren überspringt, das Produkt gleiches Zeichen behält, indem die zweimalige Aenderung des Vorzeichens wieder zu dem ursprünglichen Vorzeichen zurückführt, also auch, dass überhaupt, wenn ein einfacher Faktor eine gerade Anzahl ein- facher Faktoren überspringt, das Vorzeichen des Produktes das- selbe bleibt, hingegen, wenn eine ungerade, sich in das entgegen- gesetzte verwandeln muss, sobald der ganze Ausdruck denselben Werth behalten soll. Somit müssen die Gesetze, welche für zwei an einander gränzende Faktoren gelten, auch für getrennte fortbe- stehen; denn man kann den einen der beiden getrennten Faktoren an den andern heranrücken, wobei sich das Vorzeichen entweder ändert oder nicht, je nachdem er dabei eine ungerade oder gerade Anzahl einfacher Faktoren überspringt, kann nun die Gesetze, die für zwei an einander gränzende Faktoren gelten, anwenden, und dann in allen Produkten wieder jenen Faktor auf seine alte Stelle zurückrücken, wobei das Vorzeichen offenbar jedesmal wieder das ursprüngliche werden muss *). Also wenn irgend zwei einfache Faktoren eines Produktes aus Stücken bestehen, welche demselben Systeme zweiter Stufe angehören, so gilt das Beziehungsgesetz der Multiplikation zur Addition, und da, wenn zwei einfache Faktoren gleichartig werden, nach § 33. das Produkt null ist, so folgt, dass man Stücke, welche den übrigen Faktoren gleichartig sind, aus einem Faktor weglassen oder ihm hinzufügen kann, ohne den Werth des Produktes zu ändern. Daraus folgt sogleich, was auch *) Denn änderte es sich vorher nicht, so ändert es sich auch jetzt nicht, da der Faktor wieder dieselbe Faktorenzahl überspringt; änderte es sich vorher aber, so ändert es sich jetzt wieder (aus demselben Grunde), wird also wieder das ursprüngliche.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 58. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/94>, abgerufen am 02.05.2024.