Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Aeussere Multiplikation der Strecken. § 36

auch ihre Summe von ihnen abhängig, so werden beide Seiten
jener Gleichung null, weil die Produkte abhängiger Strecken null
sind; also besteht auch für diesen Fall jene Gleichung; also besteht
sie allgemein, so lange in jenem Produkte von n Faktoren die
sämmtlichen Strecken demselben Systeme n-ter Stufe angehören.
Da aber nur in diesem Falle die Glieder der rechten Seite gleich-
artig sind, und bei höheren Stufen der Begriff der Addition nur
für gleichartige Summanden festgesetzt ist, so haben wir die multi-
plikative Beziehung unserer Verknüpfungsweise zur Addition, so
weit diese begrifflich bestimmt ist, vollständig dargethan; und es
werden also alle Gesetze dieser Beziehung (s. § 10.) hier gelten.
Sollte sich späterhin ein erweiterter Begriff der Addition ergeben,
so würde eine solche Verknüpfung nicht eher als Addition festge-
stellt sein, als bis auch ihre additive Beziehung zu der bisher dar-
gelegten Multiplikation nachgewiesen ist. — Ich habe schon oben
(§ 34.) festgesetzt, dass wir das Produkt, zu dem wir hier gelangt
sind, ein äusseres nennen, indem wir mit dieser Benennung an-
deuten wollen, dass diese Art des Produktes nur, sofern die Fak-
toren auseinander treten, und das Produkt eine neue Ausdehnung
darstellt, einen geltenden Werth hat, hingegen, wenn die Faktoren
in einander bleiben, gleich null gesetzt war ^*). Die Resultate der
Entwickelung können wir in folgendem Satze zusammenfassen:

„Wenn man unter dem äusseren Produkte von n Strecken
diejenige Ausdehnungsgrösse n-ter Stufe versteht, welche er-
zeugt wird, wenn jedes Element der ersten Strecke die zweite
erzeugt, jedes so erzeugte Element die dritte u. s. f., und
zwar so, dass jede Ausdehnungsgrösse n-ter Stufe als ein
den übrigen gleichartiger Theil des Systems n-ter Stufe auf-
gefasst wird, dem sie angehört: so gelten für dasselbe, so-
fern Produkte aus n Faktoren nur innerhalb desselben Systems
n-ter Stufe betrachtet werden, alle Gesetze, welche die Be-
ziehung der Multiplikation zur Addition und Subtraktion aus-
drücken, und ausserdem das Gesetz, dass die einfachen Fak-
toren nur mit Zeichenwechsel vertauschbar sind.“

*) Wie diesem äusseren Produkt ein inneres gegenüberstehe, habe ich in
der Vorrede angedeutet.