Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 18 Addition ungleichartiger Strecken. die wir jetzt anschaulicher darlegen wollen. Wenn man nämlichdas Element a einzeln den Aenderungen a, b, c ... unterwirft, so entstehen m Elemente, die wir einander entsprechend setzen kön- nen; wenn man jedes von diesen wieder derselben Aenderung un- terwirft, die es vorher erfuhr, so erhält man m neue einander entsprechende Elemente, und so fort; betrachten wir nun die ent- sprechenden Elemente einer jeden solchen Gruppe von m Ele- menten als Endelemente von m Strecken, welche alle a zum An- fangselemente haben, und welche wir gleichfalls einander ent- sprechend setzen, so erhalten wir dieselben Elemente, die wir vorher gewannen, wenn wir a um die entsprechenden Strecken einer jeden Gruppe fortschreitend ändern, nnd es entspricht auf diese Weise jeder solchen Gruppe von einander entsprechenden Elementen in dem neuen System erster Stufe ein Element, wel- ches durch eine Aenderung hervorgeht, die die Summe ist aus den den durch jene Strecken dargestellten Aenderungen. Sind nun bei den angegebenen Konstruktionen die Aenderungen a, b, c ... Grund- änderungen, welche also unmittelbar von einem Elemente zum an- gränzenden überführen, so erhält man auch (wenn man dasselbe Verfahren zugleich nach der negativen Seite hin anwendet) das ganze System erster Stufe vollständig. Es ist nun zu zeigen, dass man auf diese Weise durch zwei Elemente des höheren Systems allemal ein System erster Stufe legen kann, aber auch jedesmal nur eins. Es seien die beiden Elemente des Systems a und b, so ist schon bei der Erzeugungsweise des Systems gezeigt, dass b aus a immer durch die m Aenderungsweisen des Systems und zwar bei gegebener Folge nur auf Eine Art erzeugbar ist; es seien a, b, c ... diese Aenderungen; es kommt nun zunächst darauf an, zu zeigen, dass man für diese Strecken stets solche einander entsprechende Grundänderungen annehmen kann, dass a, b, c ... entsprechende Strecken werden, und also nach der so eben angegebenen Kon- struktion b ein Element des durch diese entsprechenden Grund- änderungen erzeugten Systems erster Stufe wird. Betrachte ich zuerst zwei Strecken a und b, deren jede durch Fortsetzung der- selben Grundänderung entstanden ist, so können zuerst, da die Grundänderungen nach dem Begriff des Stetigen keine an sich fixirte Grösse haben, beliebige Grundänderungen in beiden als § 18 Addition ungleichartiger Strecken. die wir jetzt anschaulicher darlegen wollen. Wenn man nämlichdas Element α einzeln den Aenderungen a, b, c ... unterwirft, so entstehen m Elemente, die wir einander entsprechend setzen kön- nen; wenn man jedes von diesen wieder derselben Aenderung un- terwirft, die es vorher erfuhr, so erhält man m neue einander entsprechende Elemente, und so fort; betrachten wir nun die ent- sprechenden Elemente einer jeden solchen Gruppe von m Ele- menten als Endelemente von m Strecken, welche alle α zum An- fangselemente haben, und welche wir gleichfalls einander ent- sprechend setzen, so erhalten wir dieselben Elemente, die wir vorher gewannen, wenn wir α um die entsprechenden Strecken einer jeden Gruppe fortschreitend ändern, nnd es entspricht auf diese Weise jeder solchen Gruppe von einander entsprechenden Elementen in dem neuen System erster Stufe ein Element, wel- ches durch eine Aenderung hervorgeht, die die Summe ist aus den den durch jene Strecken dargestellten Aenderungen. Sind nun bei den angegebenen Konstruktionen die Aenderungen a, b, c ... Grund- änderungen, welche also unmittelbar von einem Elemente zum an- gränzenden überführen, so erhält man auch (wenn man dasselbe Verfahren zugleich nach der negativen Seite hin anwendet) das ganze System erster Stufe vollständig. Es ist nun zu zeigen, dass man auf diese Weise durch zwei Elemente des höheren Systems allemal ein System erster Stufe legen kann, aber auch jedesmal nur eins. Es seien die beiden Elemente des Systems α und β, so ist schon bei der Erzeugungsweise des Systems gezeigt, dass β aus α immer durch die m Aenderungsweisen des Systems und zwar bei gegebener Folge nur auf Eine Art erzeugbar ist; es seien a, b, c ... diese Aenderungen; es kommt nun zunächst darauf an, zu zeigen, dass man für diese Strecken stets solche einander entsprechende Grundänderungen annehmen kann, dass a, b, c ... entsprechende Strecken werden, und also nach der so eben angegebenen Kon- struktion β ein Element des durch diese entsprechenden Grund- änderungen erzeugten Systems erster Stufe wird. Betrachte ich zuerst zwei Strecken a und b, deren jede durch Fortsetzung der- selben Grundänderung entstanden ist, so können zuerst, da die Grundänderungen nach dem Begriff des Stetigen keine an sich fixirte Grösse haben, beliebige Grundänderungen in beiden als <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0063" n="27"/><fw place="top" type="header">§ 18 Addition ungleichartiger Strecken.</fw><lb/> die wir jetzt anschaulicher darlegen wollen. 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§ 18 Addition ungleichartiger Strecken.
die wir jetzt anschaulicher darlegen wollen. Wenn man nämlich
das Element α einzeln den Aenderungen a, b, c ... unterwirft, so
entstehen m Elemente, die wir einander entsprechend setzen kön-
nen; wenn man jedes von diesen wieder derselben Aenderung un-
terwirft, die es vorher erfuhr, so erhält man m neue einander
entsprechende Elemente, und so fort; betrachten wir nun die ent-
sprechenden Elemente einer jeden solchen Gruppe von m Ele-
menten als Endelemente von m Strecken, welche alle α zum An-
fangselemente haben, und welche wir gleichfalls einander ent-
sprechend setzen, so erhalten wir dieselben Elemente, die wir
vorher gewannen, wenn wir α um die entsprechenden Strecken
einer jeden Gruppe fortschreitend ändern, nnd es entspricht auf
diese Weise jeder solchen Gruppe von einander entsprechenden
Elementen in dem neuen System erster Stufe ein Element, wel-
ches durch eine Aenderung hervorgeht, die die Summe ist aus den
den durch jene Strecken dargestellten Aenderungen. Sind nun bei
den angegebenen Konstruktionen die Aenderungen a, b, c ... Grund-
änderungen, welche also unmittelbar von einem Elemente zum an-
gränzenden überführen, so erhält man auch (wenn man dasselbe
Verfahren zugleich nach der negativen Seite hin anwendet) das
ganze System erster Stufe vollständig. Es ist nun zu zeigen, dass
man auf diese Weise durch zwei Elemente des höheren Systems
allemal ein System erster Stufe legen kann, aber auch jedesmal
nur eins. Es seien die beiden Elemente des Systems α und β, so
ist schon bei der Erzeugungsweise des Systems gezeigt, dass β aus
α immer durch die m Aenderungsweisen des Systems und zwar bei
gegebener Folge nur auf Eine Art erzeugbar ist; es seien a, b, c ...
diese Aenderungen; es kommt nun zunächst darauf an, zu zeigen,
dass man für diese Strecken stets solche einander entsprechende
Grundänderungen annehmen kann, dass a, b, c ... entsprechende
Strecken werden, und also nach der so eben angegebenen Kon-
struktion β ein Element des durch diese entsprechenden Grund-
änderungen erzeugten Systems erster Stufe wird. Betrachte ich
zuerst zwei Strecken a und b, deren jede durch Fortsetzung der-
selben Grundänderung entstanden ist, so können zuerst, da die
Grundänderungen nach dem Begriff des Stetigen keine an sich
fixirte Grösse haben, beliebige Grundänderungen in beiden als
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