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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 18

§ 18. In der Entwickelung des letzten § hatten wir die durch
Verknüpfung hervorgehenden Aenderungen nur betrachtet in Bezug
auf ihr Anfangs- und End-Element, ohne die Strecke zu betrach-
ten, welche beide verbindet; vielmehr traten als Strecken nur die-
jenigen hervor, welche den -ursprünglichen Aenderungsarten des
Systems angehören. Um nun das Fehlende zu ergänzen, haben
wir zu zeigen, auf welche Weise durch 2 Elemente in einem höhe-
ren Systeme die sämmtlichen übrigen Elemente bestimmt sind,
welche mit diesen beiden in Einem Systeme erster Stufe liegen.
Zu dem Ende haben wir nur auf den Begriff des Systemes erster
Stufe zurückzugehen, dass es nämlich durch Fortsetzung einer sich
selbst gleich bleibenden Aenderung erzeugt sei. Entsteht nun da-
durch, dass ein Element nach der Reihe und fortschreitend den
Aenderungen a, b, c ... unterworfen wird, welche den ursprüng-
lichen Aenderungsweisen angehören, aus einem Elemente a zuletzt
ein anderes b *), so wird nach dem Begriffe des Systemes erster
Stufe, auch dasjenige Element demselben Systeme erster Stufe an-
gehören müssen, welches aus b durch dieselben Aenderungen a, b, c ...
hervorgeht und so fort; ja auch rückwärts wird man von a aus
durch die entgegengesetzten Aenderungen fortschreiten können und
immer noch zu Elementen gelangen, die demselben System erster
Stufe angehören, aber nach der negativen Seite hin liegen, wenn
die erstere als die positive gefasst wird. Es entstehen also die
Elemente der positiven Seite aus dem Element a dadurch, dass
dies wiederholt und fortschreitend derselben Reihe der Aenderun-
gen a, b, c ... unterworfen wird. Da wir nun, wie im vorigen §
bewiesen wurde, die fortschreitenden Aenderungen beliebig ver-
tauschen und zusammenfassen können, so können wir auch hier
die gleichen Aenderungen zusammenordnen und zusammenfassen,
und gelangen so zu einer neuen Konstruktion jener Elementenreihe,

lung überall, und namentlich die hier geführte, welche zu den schwierigsten in
unserer Wissenschaft gehört, durch die entsprechenden geometrischen Kon-
struktionen sich veranschauliche. Um den Gang der Entwickelung nicht zu un-
terbrechen, habe ich diese Uebertragung auf die Geometrie hier nicht vornehmen
mögen; überdies liegt sie überall auf der Hand (s. Fig. 5).
*) Vergleiche Fig. 17, wo es für zwei Aenderungen a, b bildlich dargestellt
ist.
Addition u. Subtr. der Strecken. § 18

§ 18. In der Entwickelung des letzten § hatten wir die durch
Verknüpfung hervorgehenden Aenderungen nur betrachtet in Bezug
auf ihr Anfangs- und End-Element, ohne die Strecke zu betrach-
ten, welche beide verbindet; vielmehr traten als Strecken nur die-
jenigen hervor, welche den -ursprünglichen Aenderungsarten des
Systems angehören. Um nun das Fehlende zu ergänzen, haben
wir zu zeigen, auf welche Weise durch 2 Elemente in einem höhe-
ren Systeme die sämmtlichen übrigen Elemente bestimmt sind,
welche mit diesen beiden in Einem Systeme erster Stufe liegen.
Zu dem Ende haben wir nur auf den Begriff des Systemes erster
Stufe zurückzugehen, dass es nämlich durch Fortsetzung einer sich
selbst gleich bleibenden Aenderung erzeugt sei. Entsteht nun da-
durch, dass ein Element nach der Reihe und fortschreitend den
Aenderungen a, b, c ... unterworfen wird, welche den ursprüng-
lichen Aenderungsweisen angehören, aus einem Elemente α zuletzt
ein anderes β *), so wird nach dem Begriffe des Systemes erster
Stufe, auch dasjenige Element demselben Systeme erster Stufe an-
gehören müssen, welches aus β durch dieselben Aenderungen a, b, c ...
hervorgeht und so fort; ja auch rückwärts wird man von a aus
durch die entgegengesetzten Aenderungen fortschreiten können und
immer noch zu Elementen gelangen, die demselben System erster
Stufe angehören, aber nach der negativen Seite hin liegen, wenn
die erstere als die positive gefasst wird. Es entstehen also die
Elemente der positiven Seite aus dem Element α dadurch, dass
dies wiederholt und fortschreitend derselben Reihe der Aenderun-
gen a, b, c ... unterworfen wird. Da wir nun, wie im vorigen §
bewiesen wurde, die fortschreitenden Aenderungen beliebig ver-
tauschen und zusammenfassen können, so können wir auch hier
die gleichen Aenderungen zusammenordnen und zusammenfassen,
und gelangen so zu einer neuen Konstruktion jener Elementenreihe,

lung überall, und namentlich die hier geführte, welche zu den schwierigsten in
unserer Wissenschaft gehört, durch die entsprechenden geometrischen Kon-
struktionen sich veranschauliche. Um den Gang der Entwickelung nicht zu un-
terbrechen, habe ich diese Uebertragung auf die Geometrie hier nicht vornehmen
mögen; überdies liegt sie überall auf der Hand (s. Fig. 5).
*) Vergleiche Fig. 17, wo es für zwei Aenderungen a, b bildlich dargestellt
ist.
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[26/0062] Addition u. Subtr. der Strecken. § 18 § 18. In der Entwickelung des letzten § hatten wir die durch Verknüpfung hervorgehenden Aenderungen nur betrachtet in Bezug auf ihr Anfangs- und End-Element, ohne die Strecke zu betrach- ten, welche beide verbindet; vielmehr traten als Strecken nur die- jenigen hervor, welche den -ursprünglichen Aenderungsarten des Systems angehören. Um nun das Fehlende zu ergänzen, haben wir zu zeigen, auf welche Weise durch 2 Elemente in einem höhe- ren Systeme die sämmtlichen übrigen Elemente bestimmt sind, welche mit diesen beiden in Einem Systeme erster Stufe liegen. Zu dem Ende haben wir nur auf den Begriff des Systemes erster Stufe zurückzugehen, dass es nämlich durch Fortsetzung einer sich selbst gleich bleibenden Aenderung erzeugt sei. Entsteht nun da- durch, dass ein Element nach der Reihe und fortschreitend den Aenderungen a, b, c ... unterworfen wird, welche den ursprüng- lichen Aenderungsweisen angehören, aus einem Elemente α zuletzt ein anderes β *), so wird nach dem Begriffe des Systemes erster Stufe, auch dasjenige Element demselben Systeme erster Stufe an- gehören müssen, welches aus β durch dieselben Aenderungen a, b, c ... hervorgeht und so fort; ja auch rückwärts wird man von a aus durch die entgegengesetzten Aenderungen fortschreiten können und immer noch zu Elementen gelangen, die demselben System erster Stufe angehören, aber nach der negativen Seite hin liegen, wenn die erstere als die positive gefasst wird. Es entstehen also die Elemente der positiven Seite aus dem Element α dadurch, dass dies wiederholt und fortschreitend derselben Reihe der Aenderun- gen a, b, c ... unterworfen wird. Da wir nun, wie im vorigen § bewiesen wurde, die fortschreitenden Aenderungen beliebig ver- tauschen und zusammenfassen können, so können wir auch hier die gleichen Aenderungen zusammenordnen und zusammenfassen, und gelangen so zu einer neuen Konstruktion jener Elementenreihe, *) *) Vergleiche Fig. 17, wo es für zwei Aenderungen a, b bildlich dargestellt ist. *) lung überall, und namentlich die hier geführte, welche zu den schwierigsten in unserer Wissenschaft gehört, durch die entsprechenden geometrischen Kon- struktionen sich veranschauliche. Um den Gang der Entwickelung nicht zu un- terbrechen, habe ich diese Uebertragung auf die Geometrie hier nicht vornehmen mögen; überdies liegt sie überall auf der Hand (s. Fig. 5).

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 26. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/62>, abgerufen am 02.05.2024.