Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Addition u. Subtr. der Strecken. § 18
entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die
eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe
bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so
wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende
Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund-
änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b
stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des
Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig
angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende
b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von
jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für
die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen
angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende
erscheinen, und also das Element b als ein Element des durch
diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge-
stellt ist. Dass nun auch durch a und b nur Ein System erster
Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise.
Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen,
wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun-
gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden,
allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern
Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde
auch nicht mehr von a aus das Element b erzeugt werden. Nach-
dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele-
mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden
kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf-
gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken
erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be-
stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen.
Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen,
sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [ab],
[bg], [ag] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten
Strecken, so hat man noch immer allgemein
[Formel 1] d. h.
"Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an-
schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten
zum Endelement der letzten die Summe derselben."

Addition u. Subtr. der Strecken. § 18
entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die
eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe
bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so
wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende
Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund-
änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b
stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des
Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig
angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende
b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von
jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für
die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen
angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende
erscheinen, und also das Element β als ein Element des durch
diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge-
stellt ist. Dass nun auch durch α und β nur Ein System erster
Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise.
Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen,
wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun-
gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden,
allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern
Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde
auch nicht mehr von α aus das Element β erzeugt werden. Nach-
dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele-
mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden
kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf-
gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken
erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be-
stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen.
Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen,
sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [αβ],
[βγ], [αγ] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten
Strecken, so hat man noch immer allgemein
[Formel 1] d. h.
„Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an-
schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten
zum Endelement der letzten die Summe derselben.“

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0064" n="28"/><fw place="top" type="header">Addition u. Subtr. der Strecken. § 18</fw><lb/>
entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die<lb/>
eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe<lb/>
bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so<lb/>
wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende<lb/>
Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund-<lb/>
änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b<lb/>
stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des<lb/>
Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig<lb/>
angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende<lb/>
b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von<lb/>
jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für<lb/>
die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen<lb/>
angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende<lb/>
erscheinen, und also das Element &#x03B2; als ein Element des durch<lb/>
diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge-<lb/>
stellt ist. Dass nun auch durch &#x03B1; und &#x03B2; nur Ein System erster<lb/>
Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise.<lb/>
Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen,<lb/>
wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun-<lb/>
gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden,<lb/>
allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern<lb/>
Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde<lb/>
auch nicht mehr von &#x03B1; aus das Element &#x03B2; erzeugt werden. Nach-<lb/>
dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele-<lb/>
mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden<lb/>
kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf-<lb/>
gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken<lb/>
erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be-<lb/>
stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen.<lb/>
Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen,<lb/>
sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [&#x03B1;&#x03B2;],<lb/>
[&#x03B2;&#x03B3;], [&#x03B1;&#x03B3;] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten<lb/>
Strecken, so hat man noch immer allgemein<lb/><formula/> d. h.<lb/><cit><quote>&#x201E;Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an-<lb/>
schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten<lb/>
zum Endelement der letzten die Summe derselben.&#x201C;</quote></cit><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[28/0064] Addition u. Subtr. der Strecken. § 18 entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund- änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende erscheinen, und also das Element β als ein Element des durch diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge- stellt ist. Dass nun auch durch α und β nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise. Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen, wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun- gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden, allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde auch nicht mehr von α aus das Element β erzeugt werden. Nach- dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele- mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf- gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be- stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen. Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen, sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [αβ], [βγ], [αγ] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten Strecken, so hat man noch immer allgemein [FORMEL] d. h. „Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an- schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten zum Endelement der letzten die Summe derselben.“

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/64
Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/64>, abgerufen am 02.05.2024.