Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen. aber keine der früheren annahm. Sind daher a und b zwei Strecken,von denen a einer früheren, b einer späteren von den Aenderungs- weisen angehört, so wird ein Element bei der Erzeugung des Systems zwar an die Aenderung a die Aenderung b anschliessen können, aber nicht umgekehrt; d. h. es wird dabei die Verknüpfung a * b vorkommen, aber nicht die b * a. Aber obgleich die letztere Verknüpfung durch die Erzeugung des Systems nicht ihrem Be- griffe nach bestimmt werden kann, so muss sie doch an sich mög- lich sein. Somit zeigt sich hier die besprochene Lücke. Um die- selbe näher zu übersehen sei [ab] *) gleich a [bb] = [aa] = b, so ist die Aenderung [ab] gleich a * b; es ist aber [ab] auch gleich [aa] * [ab], d. h. gleich b * [ab]. Sollten also die Glie- der vertauschbar, d. h. a * b = b * a sein, so müsste [ab] = [ab] sein. Hierüber lässt sich nun aus dem Bisherigen nichts entschei- den; denn alles, was wir über das System und dessen Elemente aussagen können, muss, da das ganze System auf keine andere Weise, als nur durch seine Erzeugung gegeben ist, aus dieser Er- zeugungsweise hervorgehen. Da nun aber in dieser nichts von einer solchen Aenderung ab vorkommt, so sind wir befugt und gedrungen, eine neue Begriffsbestimmung über solche Aenderungen zu geben, und die Analogie mit dem Früheren führt uns nothwen- dig dazu, in dem Umfange, in welchem wir zu einer neuen Be- griffsbestimmung befugt sind, ab und ab gleich zu setzen. Diese Gleichsetzung vollziehen wir aber erst auf bestimmte Weise, wenn wir den Umfang jener Befugniss ausgemittelt haben. Zu dem Ende betrachten wir 2 gleiche Strecken: [Formel 1] deren Gränzelemente einer der späteren Aenderungen b, aber alle derselben unterworfen werden und dadurch in a, b, g, d über- gehen, so dass [Formel 2] ist. Da nun [aa] = [g] = (-- b) ist, so hat man für die Aen- derungen [ab] und [gd] die Gleichungen: [Formel 3] ; *) Zur Erläuterung kann Fig. 4 dienen.
§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen. aber keine der früheren annahm. Sind daher a und b zwei Strecken,von denen a einer früheren, b einer späteren von den Aenderungs- weisen angehört, so wird ein Element bei der Erzeugung des Systems zwar an die Aenderung a die Aenderung b anschliessen können, aber nicht umgekehrt; d. h. es wird dabei die Verknüpfung a ◠ b vorkommen, aber nicht die b ◠ a. Aber obgleich die letztere Verknüpfung durch die Erzeugung des Systems nicht ihrem Be- griffe nach bestimmt werden kann, so muss sie doch an sich mög- lich sein. Somit zeigt sich hier die besprochene Lücke. Um die- selbe näher zu übersehen sei [αβ] *) gleich a [ββ] = [αά] = b, so ist die Aenderung [αβ] gleich a ◠ b; es ist aber [αβ] auch gleich [αα] ◠ [αβ], d. h. gleich b ◠ [αβ]. Sollten also die Glie- der vertauschbar, d. h. a ◠ b = b ◠ a sein, so müsste [αβ] = [αβ] sein. Hierüber lässt sich nun aus dem Bisherigen nichts entschei- den; denn alles, was wir über das System und dessen Elemente aussagen können, muss, da das ganze System auf keine andere Weise, als nur durch seine Erzeugung gegeben ist, aus dieser Er- zeugungsweise hervorgehen. Da nun aber in dieser nichts von einer solchen Aenderung αβ vorkommt, so sind wir befugt und gedrungen, eine neue Begriffsbestimmung über solche Aenderungen zu geben, und die Analogie mit dem Früheren führt uns nothwen- dig dazu, in dem Umfange, in welchem wir zu einer neuen Be- griffsbestimmung befugt sind, αβ und αβ gleich zu setzen. Diese Gleichsetzung vollziehen wir aber erst auf bestimmte Weise, wenn wir den Umfang jener Befugniss ausgemittelt haben. Zu dem Ende betrachten wir 2 gleiche Strecken: [Formel 1] deren Gränzelemente einer der späteren Aenderungen b, aber alle derselben unterworfen werden und dadurch in ά, β΄, γ΄, δ über- gehen, so dass [Formel 2] ist. Da nun [άα] = [γ΄] = (— b) ist, so hat man für die Aen- derungen [άβ΄] und [γ΄δ΄] die Gleichungen: [Formel 3] ; *) Zur Erläuterung kann Fig. 4 dienen.
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§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen.
aber keine der früheren annahm. Sind daher a und b zwei Strecken,
von denen a einer früheren, b einer späteren von den Aenderungs-
weisen angehört, so wird ein Element bei der Erzeugung des
Systems zwar an die Aenderung a die Aenderung b anschliessen
können, aber nicht umgekehrt; d. h. es wird dabei die Verknüpfung
a ◠ b vorkommen, aber nicht die b ◠ a. Aber obgleich die letztere
Verknüpfung durch die Erzeugung des Systems nicht ihrem Be-
griffe nach bestimmt werden kann, so muss sie doch an sich mög-
lich sein. Somit zeigt sich hier die besprochene Lücke. Um die-
selbe näher zu übersehen sei [αβ] *) gleich a [ββ] = [αά] = b,
so ist die Aenderung [αβ] gleich a ◠ b; es ist aber [αβ] auch
gleich [αα] ◠ [αβ], d. h. gleich b ◠ [αβ]. Sollten also die Glie-
der vertauschbar, d. h. a ◠ b = b ◠ a sein, so müsste [αβ] = [αβ]
sein. Hierüber lässt sich nun aus dem Bisherigen nichts entschei-
den; denn alles, was wir über das System und dessen Elemente
aussagen können, muss, da das ganze System auf keine andere
Weise, als nur durch seine Erzeugung gegeben ist, aus dieser Er-
zeugungsweise hervorgehen. Da nun aber in dieser nichts von
einer solchen Aenderung αβ vorkommt, so sind wir befugt und
gedrungen, eine neue Begriffsbestimmung über solche Aenderungen
zu geben, und die Analogie mit dem Früheren führt uns nothwen-
dig dazu, in dem Umfange, in welchem wir zu einer neuen Be-
griffsbestimmung befugt sind, αβ und αβ gleich zu setzen. Diese
Gleichsetzung vollziehen wir aber erst auf bestimmte Weise, wenn
wir den Umfang jener Befugniss ausgemittelt haben. Zu dem Ende
betrachten wir 2 gleiche Strecken:
[FORMEL] deren Gränzelemente einer der späteren Aenderungen b, aber alle
derselben unterworfen werden und dadurch in ά, β΄, γ΄, δ über-
gehen, so dass
[FORMEL] ist. Da nun [άα] = [γ΄] = (— b) ist, so hat man für die Aen-
derungen [άβ΄] und [γ΄δ΄] die Gleichungen:
[FORMEL];
*) Zur Erläuterung kann Fig. 4 dienen.
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