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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 17
Punkte einer geraden Linie nach einer neuen in ihr nicht enthal-
tenen Richtung (oder nach der entgegengesetzten) sich fortbewegen,
wobei dann eben die Gesammtheit der so erzeugbaren Punkte die
unendliche Ebene bildet. Es erscheint somit die Ebene als eine
Gesammtheit von Parallelen, welche alle eine gegebene Gerade
durchschneiden; und es ist ersichtlich, dass, da diese Parallelen
sich nicht schneiden, und auch die ursprüngliche Gerade nicht
noch ein zweitesmal treffen, alle auf jene Weise erzeugten Punkte
von einander verschieden sind und somit die Analogie eine voll-
ständige ist. Ebenso gelangt man zu dem ganzen unendlichen
Raume, als dem Systeme dritter Stufe, wenn man die Punkte der
Ebene nach einer neuen, nicht in der Ebene liegenden Richtung
(oder der entgegengesetzten) fortbewegt; und weiter kann die Geo-
metrie nicht fortschreiten, während die abstrakte Wissenschaft
keine Gränze kennt.

§ 17. Lasse ich nun, um zu unserer Aufgabe zurückzukeh-
ren, ein Element sich zuerst um eine Strecke a ändern, und dann
das so geänderte Element um die Strecke b, so ist das Gesammt-
resultat beider Aenderungen zugleich als Resultat Einer Aenderung
aufzufassen, welche die Verknüpfung jener beiden ersten ist, und
welche, wenn beide Strecken gleichartig waren, als deren Summe
erschien (§ 16). Hier können wir diese Verknüpfungsweise vor-
läufig mit dem allgemeinen Verknüpfungszeichen * bezeichnen.
Aus diesem Begriffe geht sogleich, da der Act des Zusammenfassens
den Zustand des Elementes nicht ändert, das Gesetz hervor, dass
[Formel 1] ist. Hingegen um auch zur Vertauschbarkeit der Glieder zu ge-
langen, ist noch eine Lücke in der Begriffsbestimmung auszufüllen.
Betrachten wir nämlich die Erzeugungsweise eines Systems höherer
(m-ter) Stufe, wie wir solche im vorigen § dargestellt haben, so
war dort eine bestimmte Reihenfolge der m Aenderungsweisen,
durch die jenes System erzeugt wurde, angenommen, und die Ele-
mente des Systemes wurden erzeugt, wenn das Anfangselement die
verschiedenen Aenderungsweisen in der bestimmten Reihenfolge
fortschreitend einging, so dass jedes Element, welches durch eine
Reihe von Aenderungen entstanden war, nur entweder seine letzte
Aenderung fortsetzte, oder eine der folgenden Aenderungsweisen,

Addition u. Subtr. der Strecken. § 17
Punkte einer geraden Linie nach einer neuen in ihr nicht enthal-
tenen Richtung (oder nach der entgegengesetzten) sich fortbewegen,
wobei dann eben die Gesammtheit der so erzeugbaren Punkte die
unendliche Ebene bildet. Es erscheint somit die Ebene als eine
Gesammtheit von Parallelen, welche alle eine gegebene Gerade
durchschneiden; und es ist ersichtlich, dass, da diese Parallelen
sich nicht schneiden, und auch die ursprüngliche Gerade nicht
noch ein zweitesmal treffen, alle auf jene Weise erzeugten Punkte
von einander verschieden sind und somit die Analogie eine voll-
ständige ist. Ebenso gelangt man zu dem ganzen unendlichen
Raume, als dem Systeme dritter Stufe, wenn man die Punkte der
Ebene nach einer neuen, nicht in der Ebene liegenden Richtung
(oder der entgegengesetzten) fortbewegt; und weiter kann die Geo-
metrie nicht fortschreiten, während die abstrakte Wissenschaft
keine Gränze kennt.

§ 17. Lasse ich nun, um zu unserer Aufgabe zurückzukeh-
ren, ein Element sich zuerst um eine Strecke a ändern, und dann
das so geänderte Element um die Strecke b, so ist das Gesammt-
resultat beider Aenderungen zugleich als Resultat Einer Aenderung
aufzufassen, welche die Verknüpfung jener beiden ersten ist, und
welche, wenn beide Strecken gleichartig waren, als deren Summe
erschien (§ 16). Hier können wir diese Verknüpfungsweise vor-
läufig mit dem allgemeinen Verknüpfungszeichen ◠ bezeichnen.
Aus diesem Begriffe geht sogleich, da der Act des Zusammenfassens
den Zustand des Elementes nicht ändert, das Gesetz hervor, dass
[Formel 1] ist. Hingegen um auch zur Vertauschbarkeit der Glieder zu ge-
langen, ist noch eine Lücke in der Begriffsbestimmung auszufüllen.
Betrachten wir nämlich die Erzeugungsweise eines Systems höherer
(m-ter) Stufe, wie wir solche im vorigen § dargestellt haben, so
war dort eine bestimmte Reihenfolge der m Aenderungsweisen,
durch die jenes System erzeugt wurde, angenommen, und die Ele-
mente des Systemes wurden erzeugt, wenn das Anfangselement die
verschiedenen Aenderungsweisen in der bestimmten Reihenfolge
fortschreitend einging, so dass jedes Element, welches durch eine
Reihe von Aenderungen entstanden war, nur entweder seine letzte
Aenderung fortsetzte, oder eine der folgenden Aenderungsweisen,

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[22/0058] Addition u. Subtr. der Strecken. § 17 Punkte einer geraden Linie nach einer neuen in ihr nicht enthal- tenen Richtung (oder nach der entgegengesetzten) sich fortbewegen, wobei dann eben die Gesammtheit der so erzeugbaren Punkte die unendliche Ebene bildet. Es erscheint somit die Ebene als eine Gesammtheit von Parallelen, welche alle eine gegebene Gerade durchschneiden; und es ist ersichtlich, dass, da diese Parallelen sich nicht schneiden, und auch die ursprüngliche Gerade nicht noch ein zweitesmal treffen, alle auf jene Weise erzeugten Punkte von einander verschieden sind und somit die Analogie eine voll- ständige ist. Ebenso gelangt man zu dem ganzen unendlichen Raume, als dem Systeme dritter Stufe, wenn man die Punkte der Ebene nach einer neuen, nicht in der Ebene liegenden Richtung (oder der entgegengesetzten) fortbewegt; und weiter kann die Geo- metrie nicht fortschreiten, während die abstrakte Wissenschaft keine Gränze kennt. § 17. Lasse ich nun, um zu unserer Aufgabe zurückzukeh- ren, ein Element sich zuerst um eine Strecke a ändern, und dann das so geänderte Element um die Strecke b, so ist das Gesammt- resultat beider Aenderungen zugleich als Resultat Einer Aenderung aufzufassen, welche die Verknüpfung jener beiden ersten ist, und welche, wenn beide Strecken gleichartig waren, als deren Summe erschien (§ 16). Hier können wir diese Verknüpfungsweise vor- läufig mit dem allgemeinen Verknüpfungszeichen ◠ bezeichnen. Aus diesem Begriffe geht sogleich, da der Act des Zusammenfassens den Zustand des Elementes nicht ändert, das Gesetz hervor, dass [FORMEL] ist. Hingegen um auch zur Vertauschbarkeit der Glieder zu ge- langen, ist noch eine Lücke in der Begriffsbestimmung auszufüllen. Betrachten wir nämlich die Erzeugungsweise eines Systems höherer (m-ter) Stufe, wie wir solche im vorigen § dargestellt haben, so war dort eine bestimmte Reihenfolge der m Aenderungsweisen, durch die jenes System erzeugt wurde, angenommen, und die Ele- mente des Systemes wurden erzeugt, wenn das Anfangselement die verschiedenen Aenderungsweisen in der bestimmten Reihenfolge fortschreitend einging, so dass jedes Element, welches durch eine Reihe von Aenderungen entstanden war, nur entweder seine letzte Aenderung fortsetzte, oder eine der folgenden Aenderungsweisen,

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 22. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/58>, abgerufen am 02.05.2024.