Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Addition u. Subtr. der Strecken. § 17

also sind beide Aenderungen einander gleich. Also wenn zwei
Elementenpaare durch gleiche Aenderung auseinander erzeugbar
sind, und man unterwirft alle vier Elemente einer neuen, aber alle
derselben Aenderung, so werden auch die daraus hervorgehenden
Elementenpaare durch gleiche Aenderungen auseinander erzeugbar
sein. Da nun dies Gesetz auch noch bestehen bleibt, wenn [αβ]
eine Grundänderung darstellt, so folgt hieraus nicht nur, dass eine
Strecke, wenn sich ihre Elemente alle um gleich viel ändern, wie-
der eine Strecke bleibt, sondern auch dass, wenn nur für die
Grundänderung gezeigt ist, dass sie bei jener Fortschreitung der
Strecke gleich bleibt, dasselbe dann auch für die ganze Strecke
gilt. Damit ist der Umfang der oben angedeuteten Befugniss ge-
geben, und wir setzen daher fest, dass, wenn in einem Systeme
m-ter Stufe eine Strecke, welche einer der früheren von den
m Aenderungsweisen, die das System bestimmen, angehört, einer
der späteren Aenderungsweisen unterworfen wird, und zwar alle
Elemente derselben, dann die entsprechenden Grundänderungen in
der ursprünglichen und der geänderten Strecke einander gleich
genannt werden sollen, hingegen ungleich, wenn die Elemente ver-
schiedenen Aenderungen unterworfen sind ^*). Daraus folgt dann,
vermöge des vorhergehenden Satzes, dass diese Gleichheit (und
Ungleichheit) unter denselben Umständen auch für die Strecken
selbst fortbesteht; und wir gelangen also zu dem Satze: Wenn man
eine Strecke, welche einer der m ursprünglichen Aenderungswei-
sen des Systems angehört, Aenderungen unterwirft, welche gleich-
falls jenen Aenderungsweisen angehören, und zwar alle Elemente
denselben Aenderungen, so ist die so geänderte Strecke der ur-
sprünglichen gleich. Dass wir nämlich hier auch den Unterschied
zwischen früheren und späteren Aenderungsweisen fallen lassen
können, ergiebt sich leicht aus der Gegenseitigkeit der Beziehung;
denn wenn vorausgesetzt wird, dass [αβ] gleich oder ungleich
[α΄β΄] ist, je nachdem [αα΄] gleich [ββ΄] ist oder nicht, so sind

*) Die Deduktion, durch die wir zu dieser Definition der gleichen Aende-
rung überleiteten, gehört derjenigen Entwickelungsreihe (Einleit. Nr. 16) an, die
die Uebersicht geben soll. Für die rein mathematische Entwickelungsreihe er-
scheint dieselbe, wie überhaupt jede Definition, als rein willkührlich.