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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 16 Addition gleichartiger Strecken-Systeme.
der Summe, und da [aa] = -- [aa] = -- [bb] ist, so hebt sich
[aa] und [bb] bei der Addition, und es ist wirklich [ab] = [ab].

§ 16. Nehme ich nun, um zu den Verknüpfungen verschie-
denartiger Strecken zu gelangen, zunächst zwei verschiedenartige
Grundänderungen an, und lasse ein Element die erste Grundän-
derung (oder deren entgegengesetzte) beliebig fortsetzen und dann
das so geänderte Element in der zweiten Aenderungsweise gleich-
falls beliebig fortschreiten, so werde ich dadurch aus einem Ele-
ment eine unendliche Menge neuer Elemente erzeugen können,
und die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente nenne ich ein
System zweiter Stufe. Nehme ich dann ferner eine dritte Grund-
änderung an, welche von jenem Anfangselemente aus nicht wieder
zu einem Elemente dieses Systems zweiter Stufe führt, und welche
ich deshalb als von jenen beiden ersten unabhängig bezeichne, und
lasse ein beliebiges Element jenes Systems zweiter Stufe, diese
dritte Aenderung (oder deren entgegensetzte) beliebig fortsetzen,
so wird die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente ein System
dritter Stufe bilden; und da dieser Erzeugungsweise dem Begriffe
nach keine Schranke gesetzt ist, so werde ich auf diese Weise zu
Systemen beliebig hoher Stufen fortschreiten können. Hierbei ist
es wichtig festzuhalten, dass alle auf diese Weise erzeugten Ele-
mente, nicht als anderweitig schon gegebene *) aufgefasst werden
dürfen, sondern als ursprünglich erzeugt, und dass sie daher alle,
sofern sie ursprünglich durch verschiedene Aenderungen erzeugt
sind, auch ihrem Begriffe nach als verschiedene erscheinen. Da-
gegen ist wiederum klar, dass, nachdem die Elemente einmal er-
zeugt sind, sie von da ab als gegebene erscheinen, und über ihre
Verschiedenheit oder Identität nicht anders entschieden werden
kann, als wenn man auf die ursprüngliche Erzeugung zurückgeht.

Ehe ich nun zu unserer Aufgabe, nämlich zur Verknüpfung
der verschiedenen Aenderungsweisen, übergehe, will ich der An-
schauung durch geometrische Betrachtungen zu Hülfe kommen.
Es ist nämlich klar, dass das System zweiter Stufe der Ebene ent-
spricht, und die Ebene dadurch erzeugt gedacht wird, dass alle

*) Wie etwa in der Raumlehre alle Punkte schon durch den vorausgesetzten
Raum ursprünglich gegeben sind.

§ 16 Addition gleichartiger Strecken-Systeme.
der Summe, und da [άα] = — [αά] = — [ββ] ist, so hebt sich
[άα] und [ββ] bei der Addition, und es ist wirklich [άβ] = [αβ].

§ 16. Nehme ich nun, um zu den Verknüpfungen verschie-
denartiger Strecken zu gelangen, zunächst zwei verschiedenartige
Grundänderungen an, und lasse ein Element die erste Grundän-
derung (oder deren entgegengesetzte) beliebig fortsetzen und dann
das so geänderte Element in der zweiten Aenderungsweise gleich-
falls beliebig fortschreiten, so werde ich dadurch aus einem Ele-
ment eine unendliche Menge neuer Elemente erzeugen können,
und die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente nenne ich ein
System zweiter Stufe. Nehme ich dann ferner eine dritte Grund-
änderung an, welche von jenem Anfangselemente aus nicht wieder
zu einem Elemente dieses Systems zweiter Stufe führt, und welche
ich deshalb als von jenen beiden ersten unabhängig bezeichne, und
lasse ein beliebiges Element jenes Systems zweiter Stufe, diese
dritte Aenderung (oder deren entgegensetzte) beliebig fortsetzen,
so wird die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente ein System
dritter Stufe bilden; und da dieser Erzeugungsweise dem Begriffe
nach keine Schranke gesetzt ist, so werde ich auf diese Weise zu
Systemen beliebig hoher Stufen fortschreiten können. Hierbei ist
es wichtig festzuhalten, dass alle auf diese Weise erzeugten Ele-
mente, nicht als anderweitig schon gegebene *) aufgefasst werden
dürfen, sondern als ursprünglich erzeugt, und dass sie daher alle,
sofern sie ursprünglich durch verschiedene Aenderungen erzeugt
sind, auch ihrem Begriffe nach als verschiedene erscheinen. Da-
gegen ist wiederum klar, dass, nachdem die Elemente einmal er-
zeugt sind, sie von da ab als gegebene erscheinen, und über ihre
Verschiedenheit oder Identität nicht anders entschieden werden
kann, als wenn man auf die ursprüngliche Erzeugung zurückgeht.

Ehe ich nun zu unserer Aufgabe, nämlich zur Verknüpfung
der verschiedenen Aenderungsweisen, übergehe, will ich der An-
schauung durch geometrische Betrachtungen zu Hülfe kommen.
Es ist nämlich klar, dass das System zweiter Stufe der Ebene ent-
spricht, und die Ebene dadurch erzeugt gedacht wird, dass alle

*) Wie etwa in der Raumlehre alle Punkte schon durch den vorausgesetzten
Raum ursprünglich gegeben sind.
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[21/0057] § 16 Addition gleichartiger Strecken-Systeme. der Summe, und da [άα] = — [αά] = — [ββ] ist, so hebt sich [άα] und [ββ] bei der Addition, und es ist wirklich [άβ] = [αβ]. § 16. Nehme ich nun, um zu den Verknüpfungen verschie- denartiger Strecken zu gelangen, zunächst zwei verschiedenartige Grundänderungen an, und lasse ein Element die erste Grundän- derung (oder deren entgegengesetzte) beliebig fortsetzen und dann das so geänderte Element in der zweiten Aenderungsweise gleich- falls beliebig fortschreiten, so werde ich dadurch aus einem Ele- ment eine unendliche Menge neuer Elemente erzeugen können, und die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente nenne ich ein System zweiter Stufe. Nehme ich dann ferner eine dritte Grund- änderung an, welche von jenem Anfangselemente aus nicht wieder zu einem Elemente dieses Systems zweiter Stufe führt, und welche ich deshalb als von jenen beiden ersten unabhängig bezeichne, und lasse ein beliebiges Element jenes Systems zweiter Stufe, diese dritte Aenderung (oder deren entgegensetzte) beliebig fortsetzen, so wird die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente ein System dritter Stufe bilden; und da dieser Erzeugungsweise dem Begriffe nach keine Schranke gesetzt ist, so werde ich auf diese Weise zu Systemen beliebig hoher Stufen fortschreiten können. Hierbei ist es wichtig festzuhalten, dass alle auf diese Weise erzeugten Ele- mente, nicht als anderweitig schon gegebene *) aufgefasst werden dürfen, sondern als ursprünglich erzeugt, und dass sie daher alle, sofern sie ursprünglich durch verschiedene Aenderungen erzeugt sind, auch ihrem Begriffe nach als verschiedene erscheinen. Da- gegen ist wiederum klar, dass, nachdem die Elemente einmal er- zeugt sind, sie von da ab als gegebene erscheinen, und über ihre Verschiedenheit oder Identität nicht anders entschieden werden kann, als wenn man auf die ursprüngliche Erzeugung zurückgeht. Ehe ich nun zu unserer Aufgabe, nämlich zur Verknüpfung der verschiedenen Aenderungsweisen, übergehe, will ich der An- schauung durch geometrische Betrachtungen zu Hülfe kommen. Es ist nämlich klar, dass das System zweiter Stufe der Ebene ent- spricht, und die Ebene dadurch erzeugt gedacht wird, dass alle *) Wie etwa in der Raumlehre alle Punkte schon durch den vorausgesetzten Raum ursprünglich gegeben sind.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/57>, abgerufen am 02.05.2024.