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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 15
den Schluss ziehen, dass eben so allgemein [ab] = [ag] --[bg]
ist (vgl. Fig. 2), d. h. also, wenn wir uns der in der Subtraktion
üblichen Benennungen bedienen, "der Rest ist, wenn man Minuend
und Subtrahend mit ihren Endelementen aufeinander legt, die
Strecke vom Anfangselement des Minuend zu dem des Subtrahend."
Setzt man in der letzten Formel a und b identisch, so erhält man
[Formel 1] d. h. gleich Null. Ferner ist vermöge des Begriffs des Negativen *)
[Formel 2] d. h. die Strecke [ba], welche einer andern [ab] ihrem Begriff
nach (§ 13.) entgegengesetzt ist, erscheint auch in ihrer Beziehung zur
Addition und Subtraktion als die entgegengesetzte Grösse zu jener.
Da nun endlich a+(-- b) = a -- b ist, so hat man, wenn ag und
gb im entgegengesetzten Sinne erzeugt sind
[Formel 3] d. h. auch wenn die beiden Strecken im entgegengesetzten Sinne
erzeugt sind, ist ihre Summe die Strecke vom Anfangselement der
ersten zum Endelement der zweiten an sie stetig angelegten. Und
wir können also, dies Resultat mit dem obigen zusammenfassend,
sagen:
"Wenn man zwei gleichartige Strecken stetig, d. h. so ver-
knüpft, dass das Endelement der ersten Anfangselement der
zweiten wird, so ist die Strecke vom Anfangselement der
ersten zum Endelement der letzten die Summe beider;"
und indem sie so als Summe bezeichnet ist, so soll darin ausge-
drückt liegen, dass alle Gesetze der Addition und Subtraktion für
diese Verknüpfungsweise gelten. Noch will ich hieran eine Fol-
gerung schliessen, die für die Weiterentwickelung fruchtreich ist,
nämlich dass, wenn die Gränzelemente einer Strecke in demselben
System sich beide um eine gleiche Strecke ändern, dann die zwi-
schen den neuen Gränzelementen liegende Strecke der ersteren
gleich ist. In der That, es sei [ab] die ursprüngliche Strecke
(vergl. Fig. 3) und [aa] = [bb], so ist zu zeigen, dass, wenn alle
genannten Elemente demselben System angehören, [ab] = [ab]
sei. Es ist aber [ab] = [aa] + [ab] + [bb], nach der Definition

*) Vergleiche hier überall § 7.

Addition u. Subtr. der Strecken. § 15
den Schluss ziehen, dass eben so allgemein [αβ] = [αγ] —[βγ]
ist (vgl. Fig. 2), d. h. also, wenn wir uns der in der Subtraktion
üblichen Benennungen bedienen, „der Rest ist, wenn man Minuend
und Subtrahend mit ihren Endelementen aufeinander legt, die
Strecke vom Anfangselement des Minuend zu dem des Subtrahend.“
Setzt man in der letzten Formel α und β identisch, so erhält man
[Formel 1] d. h. gleich Null. Ferner ist vermöge des Begriffs des Negativen *)
[Formel 2] d. h. die Strecke [βα], welche einer andern [αβ] ihrem Begriff
nach (§ 13.) entgegengesetzt ist, erscheint auch in ihrer Beziehung zur
Addition und Subtraktion als die entgegengesetzte Grösse zu jener.
Da nun endlich a+(— b) = a — b ist, so hat man, wenn αγ und
γβ im entgegengesetzten Sinne erzeugt sind
[Formel 3] d. h. auch wenn die beiden Strecken im entgegengesetzten Sinne
erzeugt sind, ist ihre Summe die Strecke vom Anfangselement der
ersten zum Endelement der zweiten an sie stetig angelegten. Und
wir können also, dies Resultat mit dem obigen zusammenfassend,
sagen:
„Wenn man zwei gleichartige Strecken stetig, d. h. so ver-
knüpft, dass das Endelement der ersten Anfangselement der
zweiten wird, so ist die Strecke vom Anfangselement der
ersten zum Endelement der letzten die Summe beider;“
und indem sie so als Summe bezeichnet ist, so soll darin ausge-
drückt liegen, dass alle Gesetze der Addition und Subtraktion für
diese Verknüpfungsweise gelten. Noch will ich hieran eine Fol-
gerung schliessen, die für die Weiterentwickelung fruchtreich ist,
nämlich dass, wenn die Gränzelemente einer Strecke in demselben
System sich beide um eine gleiche Strecke ändern, dann die zwi-
schen den neuen Gränzelementen liegende Strecke der ersteren
gleich ist. In der That, es sei [αβ] die ursprüngliche Strecke
(vergl. Fig. 3) und [αά] = [ββ], so ist zu zeigen, dass, wenn alle
genannten Elemente demselben System angehören, [άβ] = [αβ]
sei. Es ist aber [άβ] = [άα] + [αβ] + [ββ], nach der Definition

*) Vergleiche hier überall § 7.
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[20/0056] Addition u. Subtr. der Strecken. § 15 den Schluss ziehen, dass eben so allgemein [αβ] = [αγ] —[βγ] ist (vgl. Fig. 2), d. h. also, wenn wir uns der in der Subtraktion üblichen Benennungen bedienen, „der Rest ist, wenn man Minuend und Subtrahend mit ihren Endelementen aufeinander legt, die Strecke vom Anfangselement des Minuend zu dem des Subtrahend.“ Setzt man in der letzten Formel α und β identisch, so erhält man [FORMEL] d. h. gleich Null. Ferner ist vermöge des Begriffs des Negativen *) [FORMEL] d. h. die Strecke [βα], welche einer andern [αβ] ihrem Begriff nach (§ 13.) entgegengesetzt ist, erscheint auch in ihrer Beziehung zur Addition und Subtraktion als die entgegengesetzte Grösse zu jener. Da nun endlich a+(— b) = a — b ist, so hat man, wenn αγ und γβ im entgegengesetzten Sinne erzeugt sind [FORMEL] d. h. auch wenn die beiden Strecken im entgegengesetzten Sinne erzeugt sind, ist ihre Summe die Strecke vom Anfangselement der ersten zum Endelement der zweiten an sie stetig angelegten. Und wir können also, dies Resultat mit dem obigen zusammenfassend, sagen: „Wenn man zwei gleichartige Strecken stetig, d. h. so ver- knüpft, dass das Endelement der ersten Anfangselement der zweiten wird, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten zum Endelement der letzten die Summe beider;“ und indem sie so als Summe bezeichnet ist, so soll darin ausge- drückt liegen, dass alle Gesetze der Addition und Subtraktion für diese Verknüpfungsweise gelten. Noch will ich hieran eine Fol- gerung schliessen, die für die Weiterentwickelung fruchtreich ist, nämlich dass, wenn die Gränzelemente einer Strecke in demselben System sich beide um eine gleiche Strecke ändern, dann die zwi- schen den neuen Gränzelementen liegende Strecke der ersteren gleich ist. In der That, es sei [αβ] die ursprüngliche Strecke (vergl. Fig. 3) und [αά] = [ββ], so ist zu zeigen, dass, wenn alle genannten Elemente demselben System angehören, [άβ] = [αβ] sei. Es ist aber [άβ] = [άα] + [αβ] + [ββ], nach der Definition *) Vergleiche hier überall § 7.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 20. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/56>, abgerufen am 02.05.2024.