Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 15 Erzeugung der Strecke.

Parallelismus in demselben und in entgegengesetztem Sinne ^*).
Den Namen der Strecke können wir in entsprechendem Sinne für
die Geometrie festhalten, und also unter gleichen Strecken hier
solche begränzte Linien verstehen, welche gleiche Richtung und
Länge haben.

§ 15. Wenn die stetige Erzeugung der Strecke mitten in
ihrem Gange unterbrochen gedacht wird, um dann hernach wieder
fortgesetzt zu werden, so erscheint die ganze Strecke als Ver-
knüpfung zweier Strecken, welche sich stetig aneinanderschliessen,
und von denen die eine als Fortsetzung der andern erscheint. Die
beiden Strecken, welche die Glieder dieser Verknüpfung bilden,
sind in demselben Sinne erzeugt (§ 8), und das Ergebniss der
Verknüpfung ist die Strecke vom Anfangselemente der ersten zum
Endelemente der letzten, wenn beide stetig an einander gelegt, d. h.
so dargestellt sind, dass das Endelement der ersten zugleich das
Anfangselement für die zweite ist. Bezeichnen wir vorläufig die
Strecke vom Anfangselement α (vergl. Fig. 2) zum Endelement β
mit [αβ], und sind [αβ] und [βγ] in demselben Sinne erzeugt,
so ist also [αγ] das Ergebniss der oben angezeigten Verknüpfung,
wenn [αβ] und [βγ] die Glieder sind ^**). Wir haben schon oben
(§ 8) nachgewiesen, dass diese Verknüpfung, da sie die Vereini-
gung der in gleichem Sinne erzeugten Grössen darstellt, als Addi-
tion, ihre entsprechende analytische als Subtraktion aufgefasst wer-
den müsse, und daher alle Gesetze dieser Verknüpfungsarten für
sie gelten. Wir haben hier nur noch die eigenthümliche Bedeutung
nachzuweisen, welche die negative Grösse auf unserm Gebiete ge-
winnt. Nämlich um zuerst die Bedeutung der Subtraktion uns
anschaulicher zu machen, so können wir daraus, dass [αβ] + [βγ]
= [αγ] ist, sobald [αβ] und [βγ] in gleichem Sinne erzeugt sind,

*) Diese Unterscheidung ist für die Geometrie so wichtig, dass es nicht
wenig zur Vereinfachung der geometrischen Sätze und Beweise beitragen würde,
wenn man diesen Unterschied durch einfache Benennungen fixirte, wozu ich
etwa die Ausdrücke „gleichläufig“ und „gegenläufig“ vorschlagen möchte.

**) Diese Bezeichnung der Strecke ist nur eine vorläufige, die wahre Be-
zeichnung derselben durch ihre Gränzelemente kann erst verstanden werden,
wenn wir die Verknüpfung der Elemente werden kennen gelernt haben (siehe den
zweiten Abschnitt § 99).

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