Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Addition u. Subtr. der Strecken. § 13 knüpfe ich daher an die Erzeugung der Linie an. Hier ist es einerzeugender Punkt, welcher verschiedene Lagen in stetiger Folge annimmt; und die Gesammtheit der Punkte, in welche der erzeu- gende Punkt bei dieser Veränderung übergeht, bildet die Linie. Die Punkte einer Linie erscheinen somit wesentlich als verschie- dene, und werden auch als solche bezeichnet (mit verschiedenen Buchstaben); wie aber dem Verschiedenen immer zugleich das Gleiche (obwohl in einem untergeordneten Sinne) anhaftet, so er- scheinen auch hier die verschiedenen Punkte als verschiedene Lagen eines und desselben erzeugenden Punktes. Auf gleiche Weise nun gelangen wir in unserer Wissenschaft zu der Ausdeh- nung, wenn wir nur statt der dort eintretenden räumlichen Bezie- hungen hier die entsprechenden begrifflichen setzen. Zuerst statt des Punktes, d. h. des besonderen Ortes, setzen wir hier das Ele- ment, worunter wir das Besondere schlechthin, aufgefasst als ver- schiedenes von anderem Besonderem verstehen; und zwar legen wir dem Elemente in der abstrakten Wissenschaft gar keinen an- dern Inhalt bei; es kann daher hier gar nicht davon die Rede sein, was für ein Besonderes dies denn eigentlich sei -- denn es ist eben das Besondere schlechthin, ohne allen realen Inhalt --, oder in welcher Beziehung das eine von dem andern verschieden sei -- denn es ist eben schlechtweg als Verschiedenes bestimmt, ohne dass irgend ein realer Inhalt, in Bezug auf welchen es verschieden sei, gesetzt wäre. Dieser Begriff des Elementes ist unserer Wis- senschaft gemeinschaftlich mit der Kombinationslehre, und daher auch die Bezeichnung der Elemente (durch verschiedene Buchsta- ben) beiden gemeinschaftlich *). Die verschiedenen Elemente kön- nen nun zugleich als verschiedene Zustände desselben erzeugenden Elementes aufgefasst werden, und diese abstrakte Verschiedenheit der Zustände ist es, welche der Ortsverschiedenheit entspricht. während die andere dem Leser die Herrschaft über den Stoff geben soll. Jene erste Entwickelungsreihe nun ist es, welche ich gänzlich unabhängig von der Geometrie erhalten habe, während ich mir bei der letzten meinem Zwecke gemäss die grösste Freiheit gestattet habe. *) Die Differenz liegt nur in der Art, wie in beiden Wissenschaften aus dem
Elemente die Formen gewonnen werden, in der Kombinationslehre nämlich durch blosses Verknüpfen also diskret, hier aber durch stetiges Erzeugen. Addition u. Subtr. der Strecken. § 13 knüpfe ich daher an die Erzeugung der Linie an. Hier ist es einerzeugender Punkt, welcher verschiedene Lagen in stetiger Folge annimmt; und die Gesammtheit der Punkte, in welche der erzeu- gende Punkt bei dieser Veränderung übergeht, bildet die Linie. Die Punkte einer Linie erscheinen somit wesentlich als verschie- dene, und werden auch als solche bezeichnet (mit verschiedenen Buchstaben); wie aber dem Verschiedenen immer zugleich das Gleiche (obwohl in einem untergeordneten Sinne) anhaftet, so er- scheinen auch hier die verschiedenen Punkte als verschiedene Lagen eines und desselben erzeugenden Punktes. Auf gleiche Weise nun gelangen wir in unserer Wissenschaft zu der Ausdeh- nung, wenn wir nur statt der dort eintretenden räumlichen Bezie- hungen hier die entsprechenden begrifflichen setzen. Zuerst statt des Punktes, d. h. des besonderen Ortes, setzen wir hier das Ele- ment, worunter wir das Besondere schlechthin, aufgefasst als ver- schiedenes von anderem Besonderem verstehen; und zwar legen wir dem Elemente in der abstrakten Wissenschaft gar keinen an- dern Inhalt bei; es kann daher hier gar nicht davon die Rede sein, was für ein Besonderes dies denn eigentlich sei — denn es ist eben das Besondere schlechthin, ohne allen realen Inhalt —, oder in welcher Beziehung das eine von dem andern verschieden sei — denn es ist eben schlechtweg als Verschiedenes bestimmt, ohne dass irgend ein realer Inhalt, in Bezug auf welchen es verschieden sei, gesetzt wäre. Dieser Begriff des Elementes ist unserer Wis- senschaft gemeinschaftlich mit der Kombinationslehre, und daher auch die Bezeichnung der Elemente (durch verschiedene Buchsta- ben) beiden gemeinschaftlich *). Die verschiedenen Elemente kön- nen nun zugleich als verschiedene Zustände desselben erzeugenden Elementes aufgefasst werden, und diese abstrakte Verschiedenheit der Zustände ist es, welche der Ortsverschiedenheit entspricht. während die andere dem Leser die Herrschaft über den Stoff geben soll. Jene erste Entwickelungsreihe nun ist es, welche ich gänzlich unabhängig von der Geometrie erhalten habe, während ich mir bei der letzten meinem Zwecke gemäss die grösste Freiheit gestattet habe. *) Die Differenz liegt nur in der Art, wie in beiden Wissenschaften aus dem
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Addition u. Subtr. der Strecken. § 13
knüpfe ich daher an die Erzeugung der Linie an. Hier ist es ein
erzeugender Punkt, welcher verschiedene Lagen in stetiger Folge
annimmt; und die Gesammtheit der Punkte, in welche der erzeu-
gende Punkt bei dieser Veränderung übergeht, bildet die Linie.
Die Punkte einer Linie erscheinen somit wesentlich als verschie-
dene, und werden auch als solche bezeichnet (mit verschiedenen
Buchstaben); wie aber dem Verschiedenen immer zugleich das
Gleiche (obwohl in einem untergeordneten Sinne) anhaftet, so er-
scheinen auch hier die verschiedenen Punkte als verschiedene
Lagen eines und desselben erzeugenden Punktes. Auf gleiche
Weise nun gelangen wir in unserer Wissenschaft zu der Ausdeh-
nung, wenn wir nur statt der dort eintretenden räumlichen Bezie-
hungen hier die entsprechenden begrifflichen setzen. Zuerst statt
des Punktes, d. h. des besonderen Ortes, setzen wir hier das Ele-
ment, worunter wir das Besondere schlechthin, aufgefasst als ver-
schiedenes von anderem Besonderem verstehen; und zwar legen
wir dem Elemente in der abstrakten Wissenschaft gar keinen an-
dern Inhalt bei; es kann daher hier gar nicht davon die Rede sein,
was für ein Besonderes dies denn eigentlich sei — denn es ist
eben das Besondere schlechthin, ohne allen realen Inhalt —, oder
in welcher Beziehung das eine von dem andern verschieden sei —
denn es ist eben schlechtweg als Verschiedenes bestimmt, ohne
dass irgend ein realer Inhalt, in Bezug auf welchen es verschieden
sei, gesetzt wäre. Dieser Begriff des Elementes ist unserer Wis-
senschaft gemeinschaftlich mit der Kombinationslehre, und daher
auch die Bezeichnung der Elemente (durch verschiedene Buchsta-
ben) beiden gemeinschaftlich *). Die verschiedenen Elemente kön-
nen nun zugleich als verschiedene Zustände desselben erzeugenden
Elementes aufgefasst werden, und diese abstrakte Verschiedenheit
der Zustände ist es, welche der Ortsverschiedenheit entspricht.
*)
*) Die Differenz liegt nur in der Art, wie in beiden Wissenschaften aus dem
Elemente die Formen gewonnen werden, in der Kombinationslehre nämlich
durch blosses Verknüpfen also diskret, hier aber durch stetiges Erzeugen.
*) während die andere dem Leser die Herrschaft über den Stoff geben soll. Jene
erste Entwickelungsreihe nun ist es, welche ich gänzlich unabhängig von der
Geometrie erhalten habe, während ich mir bei der letzten meinem Zwecke gemäss
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