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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§. 271.

Eine Summe von offnen Quadraten im Raume ist
gleich der Summe aus den offnen Quadraten von je
drei beliebigen Halbmessern, welche einem konstan-
ten Ellipsoid angehören.

Da dies Ellipsoid demnach der vollkommen treue Ausdruck je-
ner Summe ist, so können wir auch sagen, diese Summe sei eine
solche Grösse, die ein Ellipsoid darstellt, und selbst als Ellipsoid
gedacht werden könne. Auf diese Weise nun ist der Begriff jener
Summe, welcher Anfangs bloss formell auftrat, auf seine reale Be-
deutung zurückgeführt. Wir stellen uns die Aufgabe, die Gleichung
des Ellipsoids, welche zu einem gegebenen Summenausdruck
[Formel 1] gehört, zu finden. Wir haben zu dem Ende in der Gleichung (8)
[Formel 2] nur entweder p oder Q zu eliminiren, indem p der Träger eines
Punktes der Oberfläche ist, Q aber, da es die Ebene der zu p ge-
hörigen konjugirten Halbmesser darstellt, der Tangentialebene pa-
rallel ist; um im ersteren Falle (wenn p eliminirt ist) das Ellipsoid
als Umhüllte darzustellen, können wir uns der in § 144 erwähnten
Methode bedienen, wonach der Masswerth von Q so angenommen
wurde, dass, wenn Q in die Lage der Tangentialebene versetzt wird,
seine Abweichung vom Ursprung der Träger eine konstante Grösse
ist, die wir der Einheit gleich setzen können. Es ist aber jene
Abweichung gleich p . Q, also pQ gleich der Einheit. Multiplicirt
man daher obige Gleichung mit Q, so hat man
[Formel 3] was die geometrische Gleichung jenes Ellipsoids als umhüllter
Fläche ist. Es ist aber
[Formel 4] und die Gleichung des Ellipsoids ist also
[Formel 5] Will man diese Gleichung auf ein gegebenes Richtsystem a, b, c
zurückführen, so nehme man
[Formel 6] an und
[Formel 7] also

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§. 271.

Eine Summe von offnen Quadraten im Raume ist
gleich der Summe aus den offnen Quadraten von je
drei beliebigen Halbmessern, welche einem konstan-
ten Ellipsoid angehören.

Da dies Ellipsoid demnach der vollkommen treue Ausdruck je-
ner Summe ist, so können wir auch sagen, diese Summe sei eine
solche Grösse, die ein Ellipsoid darstellt, und selbst als Ellipsoid
gedacht werden könne. Auf diese Weise nun ist der Begriff jener
Summe, welcher Anfangs bloss formell auftrat, auf seine reale Be-
deutung zurückgeführt. Wir stellen uns die Aufgabe, die Gleichung
des Ellipsoids, welche zu einem gegebenen Summenausdruck
[Formel 1] gehört, zu finden. Wir haben zu dem Ende in der Gleichung (8)
[Formel 2] nur entweder p oder Q zu eliminiren, indem p der Träger eines
Punktes der Oberfläche ist, Q aber, da es die Ebene der zu p ge-
hörigen konjugirten Halbmesser darstellt, der Tangentialebene pa-
rallel ist; um im ersteren Falle (wenn p eliminirt ist) das Ellipsoid
als Umhüllte darzustellen, können wir uns der in § 144 erwähnten
Methode bedienen, wonach der Masswerth von Q so angenommen
wurde, dass, wenn Q in die Lage der Tangentialebene versetzt wird,
seine Abweichung vom Ursprung der Träger eine konstante Grösse
ist, die wir der Einheit gleich setzen können. Es ist aber jene
Abweichung gleich p . Q, also pQ gleich der Einheit. Multiplicirt
man daher obige Gleichung mit Q, so hat man
[Formel 3] was die geometrische Gleichung jenes Ellipsoids als umhüllter
Fläche ist. Es ist aber
[Formel 4] und die Gleichung des Ellipsoids ist also
[Formel 5] Will man diese Gleichung auf ein gegebenes Richtsystem a, b, c
zurückführen, so nehme man
[Formel 6] an und
[Formel 7] also

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[273/0309] §. 271. Eine Summe von offnen Quadraten im Raume ist gleich der Summe aus den offnen Quadraten von je drei beliebigen Halbmessern, welche einem konstan- ten Ellipsoid angehören. Da dies Ellipsoid demnach der vollkommen treue Ausdruck je- ner Summe ist, so können wir auch sagen, diese Summe sei eine solche Grösse, die ein Ellipsoid darstellt, und selbst als Ellipsoid gedacht werden könne. Auf diese Weise nun ist der Begriff jener Summe, welcher Anfangs bloss formell auftrat, auf seine reale Be- deutung zurückgeführt. Wir stellen uns die Aufgabe, die Gleichung des Ellipsoids, welche zu einem gegebenen Summenausdruck [FORMEL] gehört, zu finden. Wir haben zu dem Ende in der Gleichung (8) [FORMEL] nur entweder p oder Q zu eliminiren, indem p der Träger eines Punktes der Oberfläche ist, Q aber, da es die Ebene der zu p ge- hörigen konjugirten Halbmesser darstellt, der Tangentialebene pa- rallel ist; um im ersteren Falle (wenn p eliminirt ist) das Ellipsoid als Umhüllte darzustellen, können wir uns der in § 144 erwähnten Methode bedienen, wonach der Masswerth von Q so angenommen wurde, dass, wenn Q in die Lage der Tangentialebene versetzt wird, seine Abweichung vom Ursprung der Träger eine konstante Grösse ist, die wir der Einheit gleich setzen können. Es ist aber jene Abweichung gleich p . Q, also pQ gleich der Einheit. Multiplicirt man daher obige Gleichung mit Q, so hat man [FORMEL] was die geometrische Gleichung jenes Ellipsoids als umhüllter Fläche ist. Es ist aber [FORMEL] und die Gleichung des Ellipsoids ist also [FORMEL] Will man diese Gleichung auf ein gegebenes Richtsystem a, b, c zurückführen, so nehme man [FORMEL] an und [FORMEL] also 18

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 273. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/309>, abgerufen am 03.05.2024.