Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Anm. über offne Produkte. § 171 wodurch dann alles bestimmt ist. Jene willkührliche Annahme derRichtung der Ebene Q und der Richtung der einen Strecke in ihr vertritt die Stelle der 3 willkührlich anzunehmenden Zahlenbestim- mungen, von denen oben die Rede war. Um nun den Begriff zu vollenden, haben wir die Beziehung zwischen je drei solchen Stre- cken aufzustellen; dies wird geschehen, indem wir die Gleichung der Oberfläche, deren Punktträger jene Strecken sind, wenn sie an denselben Anfangspunkt gelegt sind, aufstellen, und zwar in Bezug auf je 3 beliebige Strecken, auf die S zurückgeführt werden kann. Man hat, wenn p dieser Träger ist, und in die Gleichung 6 p statt c gesetzt wird, [Formel 1] Ist nun Aus (7) folgt also, dass x'a + y'b + z'c parallel p ist, d. h. dass Dies ist aber die Gleichung eines Ellipsoides, in welchem die *) Wenn man unter x', y', z' die Koordinaten selbst versteht, welche zu den
Zeigern x, y, z gehören, so hat man x' = xa u. s. w., oder x = [Formel 7] u. s. w. und die Gleichung (8) wird dann [Formel 8] was die gewöhnliche Form der Gleichung eines Ellipsoids ist. Anm. über offne Produkte. § 171 wodurch dann alles bestimmt ist. Jene willkührliche Annahme derRichtung der Ebene Q und der Richtung der einen Strecke in ihr vertritt die Stelle der 3 willkührlich anzunehmenden Zahlenbestim- mungen, von denen oben die Rede war. Um nun den Begriff zu vollenden, haben wir die Beziehung zwischen je drei solchen Stre- cken aufzustellen; dies wird geschehen, indem wir die Gleichung der Oberfläche, deren Punktträger jene Strecken sind, wenn sie an denselben Anfangspunkt gelegt sind, aufstellen, und zwar in Bezug auf je 3 beliebige Strecken, auf die S zurückgeführt werden kann. Man hat, wenn p dieser Träger ist, und in die Gleichung 6 p statt c gesetzt wird, [Formel 1] Ist nun Aus (7) folgt also, dass x′a + y′b + z′c parallel p ist, d. h. dass Dies ist aber die Gleichung eines Ellipsoides, in welchem die *) Wenn man unter x′, y′, z′ die Koordinaten selbst versteht, welche zu den
Zeigern x, y, z gehören, so hat man x′ = xa u. s. w., oder x = [Formel 7] u. s. w. und die Gleichung (8) wird dann [Formel 8] was die gewöhnliche Form der Gleichung eines Ellipsoids ist. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0308" n="272"/><fw place="top" type="header">Anm. über offne Produkte. § 171</fw><lb/> wodurch dann alles bestimmt ist. Jene willkührliche Annahme der<lb/> Richtung der Ebene Q und der Richtung der einen Strecke in ihr<lb/> vertritt die Stelle der 3 willkührlich anzunehmenden Zahlenbestim-<lb/> mungen, von denen oben die Rede war. Um nun den Begriff zu<lb/> vollenden, haben wir die Beziehung zwischen je drei solchen Stre-<lb/> cken aufzustellen; dies wird geschehen, indem wir die Gleichung<lb/> der Oberfläche, deren Punktträger jene Strecken sind, wenn sie an<lb/> denselben Anfangspunkt gelegt sind, aufstellen, und zwar in Bezug<lb/> auf je 3 beliebige Strecken, auf die S zurückgeführt werden kann.<lb/> Man hat, wenn p dieser Träger ist, und in die Gleichung 6 p statt<lb/> c gesetzt wird,<lb/><formula/></p> <p>Ist nun<lb/><formula/> so ist<lb/><formula/></p> <p>Aus (7) folgt also, dass x′a + y′b + z′c parallel p ist, d. h. dass<lb/> x′ : y′ : z′ = x : y : z ist. Da nun in der Gleichung (7) statt Q jede<lb/> mit Q parallele Grösse gesetzt werden kann, so können wir nun<lb/><formula/> setzen, dann erhalten wir aus (7)<lb/><formula/> d. h.<lb/><formula/></p> <p>Dies ist aber die Gleichung eines Ellipsoides, in welchem die<lb/> Grundmasse a, b, c konjugirte Halbmesser sind. <note place="foot" n="*)">Wenn man unter x′, y′, z′ die Koordinaten selbst versteht, welche zu den<lb/> Zeigern x, y, z gehören, so hat man x′ = xa u. s. w., oder x = <formula/> u. s. w. und<lb/> die Gleichung (8) wird dann<lb/><formula/> was die gewöhnliche Form der Gleichung eines Ellipsoids ist.</note> Nennen wir ei-<lb/> nen Ausdruck wie a () a ein offenes Quadrat von a, so können wir<lb/> die gewonnenen Resultate in folgendem Satze darstellen:</p><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [272/0308]
Anm. über offne Produkte. § 171
wodurch dann alles bestimmt ist. Jene willkührliche Annahme der
Richtung der Ebene Q und der Richtung der einen Strecke in ihr
vertritt die Stelle der 3 willkührlich anzunehmenden Zahlenbestim-
mungen, von denen oben die Rede war. Um nun den Begriff zu
vollenden, haben wir die Beziehung zwischen je drei solchen Stre-
cken aufzustellen; dies wird geschehen, indem wir die Gleichung
der Oberfläche, deren Punktträger jene Strecken sind, wenn sie an
denselben Anfangspunkt gelegt sind, aufstellen, und zwar in Bezug
auf je 3 beliebige Strecken, auf die S zurückgeführt werden kann.
Man hat, wenn p dieser Träger ist, und in die Gleichung 6 p statt
c gesetzt wird,
[FORMEL]
Ist nun
[FORMEL] so ist
[FORMEL]
Aus (7) folgt also, dass x′a + y′b + z′c parallel p ist, d. h. dass
x′ : y′ : z′ = x : y : z ist. Da nun in der Gleichung (7) statt Q jede
mit Q parallele Grösse gesetzt werden kann, so können wir nun
[FORMEL] setzen, dann erhalten wir aus (7)
[FORMEL] d. h.
[FORMEL]
Dies ist aber die Gleichung eines Ellipsoides, in welchem die
Grundmasse a, b, c konjugirte Halbmesser sind. *) Nennen wir ei-
nen Ausdruck wie a () a ein offenes Quadrat von a, so können wir
die gewonnenen Resultate in folgendem Satze darstellen:
*) Wenn man unter x′, y′, z′ die Koordinaten selbst versteht, welche zu den
Zeigern x, y, z gehören, so hat man x′ = xa u. s. w., oder x = [FORMEL] u. s. w. und
die Gleichung (8) wird dann
[FORMEL] was die gewöhnliche Form der Gleichung eines Ellipsoids ist.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 272. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/308>, abgerufen am 03.05.2024. |
