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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 171
während bei der gewöhnlichen analytischen Methode, sowohl die
Endformel als auch die Mittelglieder in sehr verwickelten Formen
erscheinen. Aus dieser Auflösung fliesst sogleich der Satz:

"Wenn sich eine Reihe von Ebenen aus 4 Ebenen, die einen
Raum einschliessen, auf die angegebene Weise rational ablei-
ten lässt, so lässt sich auch dieselbe Reihe von Ebenen aus
jeden vier andern Ebenen dieser Reihe, welche einen Raum
einschliessen, gleichfalls rational ableiten."

Jede Kante der Krystallgestalt erscheint als Produkt der Flächen,
welche sie bilden, und dadurch ergiebt sich die Lösung der Auf-
gabe: "Wenn die Zeiger zweier Flächen P, P1 in Bezug auf vier Ebe-
nen A, B, C, D, von denen die letzte die abschneidende ist, gege-
ben sind, dann ihre Kante als Vielfachensumme der von den Ebe-
nen A, B, C gebildeten und durch D begränzten Kanten zu finden."
Man erhält, wenn A, B, C die durch D begränzten Flächenräume
darstellen, als die Zeiger dieser Kante die Ausdrücke
[Formel 1] welche sich auf die durch die Produkte AB, BC, CA dargestellten
Kanten beziehen *). Hieraus fliesst, da man beliebige 4 raumbe-
gränzende Krystallflächen als Fundamentalflächen annehmen kann,
der Satz:

"Wenn man 3 Kanten eines Krystalles, welche nicht in der-
selben Ebene liegen, ohne Aenderung ihrer Richtung an einen
gemeinschaftlichen Anfangspunkt legt, und als ihre Endpunkte
*) Nämlich es ist
[Formel 2] die Projektion von P . P1 auf A . B nach C u. s. w. und daraus folgt
[Formel 3] nun stellen AB, BC, CA jene 3 Kanten dar, welche zwischen A, B, C liegen und
durch die Ebene D begränzt werden, denn es seien c, a, b diese 3 Kanten, so
werden die Flächenräume bc, ca, ab den 3 Flächenräumen A, B, C proportional
sein (da diese die Hälften von jenen sind), und also AB, BC, CA den Produkten
bc . ca, ca . ab, ab . bc, d. h. den Produkten abc . c, abc . a, abc . b oder den Grössen
c, a, b proportional sein, und diese Grössen können also statt jener Produkte
gesetzt werden.

Verwandtschaftsbeziehungen. § 171
während bei der gewöhnlichen analytischen Methode, sowohl die
Endformel als auch die Mittelglieder in sehr verwickelten Formen
erscheinen. Aus dieser Auflösung fliesst sogleich der Satz:

„Wenn sich eine Reihe von Ebenen aus 4 Ebenen, die einen
Raum einschliessen, auf die angegebene Weise rational ablei-
ten lässt, so lässt sich auch dieselbe Reihe von Ebenen aus
jeden vier andern Ebenen dieser Reihe, welche einen Raum
einschliessen, gleichfalls rational ableiten.“

Jede Kante der Krystallgestalt erscheint als Produkt der Flächen,
welche sie bilden, und dadurch ergiebt sich die Lösung der Auf-
gabe: „Wenn die Zeiger zweier Flächen P, P1 in Bezug auf vier Ebe-
nen A, B, C, D, von denen die letzte die abschneidende ist, gege-
ben sind, dann ihre Kante als Vielfachensumme der von den Ebe-
nen A, B, C gebildeten und durch D begränzten Kanten zu finden.“
Man erhält, wenn A, B, C die durch D begränzten Flächenräume
darstellen, als die Zeiger dieser Kante die Ausdrücke
[Formel 1] welche sich auf die durch die Produkte AB, BC, CA dargestellten
Kanten beziehen *). Hieraus fliesst, da man beliebige 4 raumbe-
gränzende Krystallflächen als Fundamentalflächen annehmen kann,
der Satz:

„Wenn man 3 Kanten eines Krystalles, welche nicht in der-
selben Ebene liegen, ohne Aenderung ihrer Richtung an einen
gemeinschaftlichen Anfangspunkt legt, und als ihre Endpunkte
*) Nämlich es ist
[Formel 2] die Projektion von P . P1 auf A . B nach C u. s. w. und daraus folgt
[Formel 3] nun stellen AB, BC, CA jene 3 Kanten dar, welche zwischen A, B, C liegen und
durch die Ebene D begränzt werden, denn es seien c, a, b diese 3 Kanten, so
werden die Flächenräume bc, ca, ab den 3 Flächenräumen A, B, C proportional
sein (da diese die Hälften von jenen sind), und also AB, BC, CA den Produkten
bc . ca, ca . ab, ab . bc, d. h. den Produkten abc . c, abc . a, abc . b oder den Grössen
c, a, b proportional sein, und diese Grössen können also statt jener Produkte
gesetzt werden.
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[264/0300] Verwandtschaftsbeziehungen. § 171 während bei der gewöhnlichen analytischen Methode, sowohl die Endformel als auch die Mittelglieder in sehr verwickelten Formen erscheinen. Aus dieser Auflösung fliesst sogleich der Satz: „Wenn sich eine Reihe von Ebenen aus 4 Ebenen, die einen Raum einschliessen, auf die angegebene Weise rational ablei- ten lässt, so lässt sich auch dieselbe Reihe von Ebenen aus jeden vier andern Ebenen dieser Reihe, welche einen Raum einschliessen, gleichfalls rational ableiten.“ Jede Kante der Krystallgestalt erscheint als Produkt der Flächen, welche sie bilden, und dadurch ergiebt sich die Lösung der Auf- gabe: „Wenn die Zeiger zweier Flächen P, P1 in Bezug auf vier Ebe- nen A, B, C, D, von denen die letzte die abschneidende ist, gege- ben sind, dann ihre Kante als Vielfachensumme der von den Ebe- nen A, B, C gebildeten und durch D begränzten Kanten zu finden.“ Man erhält, wenn A, B, C die durch D begränzten Flächenräume darstellen, als die Zeiger dieser Kante die Ausdrücke [FORMEL] welche sich auf die durch die Produkte AB, BC, CA dargestellten Kanten beziehen *). Hieraus fliesst, da man beliebige 4 raumbe- gränzende Krystallflächen als Fundamentalflächen annehmen kann, der Satz: „Wenn man 3 Kanten eines Krystalles, welche nicht in der- selben Ebene liegen, ohne Aenderung ihrer Richtung an einen gemeinschaftlichen Anfangspunkt legt, und als ihre Endpunkte *) Nämlich es ist [FORMEL] die Projektion von P . P1 auf A . B nach C u. s. w. und daraus folgt [FORMEL] nun stellen AB, BC, CA jene 3 Kanten dar, welche zwischen A, B, C liegen und durch die Ebene D begränzt werden, denn es seien c, a, b diese 3 Kanten, so werden die Flächenräume bc, ca, ab den 3 Flächenräumen A, B, C proportional sein (da diese die Hälften von jenen sind), und also AB, BC, CA den Produkten bc . ca, ca . ab, ab . bc, d. h. den Produkten abc . c, abc . a, abc . b oder den Grössen c, a, b proportional sein, und diese Grössen können also statt jener Produkte gesetzt werden.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 264. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/300>, abgerufen am 12.05.2024.