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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 171 Anwendung auf die Krystallgestalten.
ihre Durchschnitte mit irgend einer Krystallfläche setzt, so
lässt sich jede andere Kante des Krystalles als Vielfachen-
summe dieser Strecken rational ausdrücken."

Da die hindurchgelegte Ebene D mit den drei Kanten a, b, c glei-
che Produkte liefert, so wird man auch jede Grösse p, welche als
Vielfachensumme von a, b, c dargestellt ist, als harmonische Viel-
fachensumme von a, b, c in Bezug auf D darstellen können. So-
mit hat man den Satz:

"Nimmt man 3 Kanten . einer Krystallgestalt und eine Fläche
desselben, (ohne dass die Kombination der 3 Kanten, oder
der Fläche mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede
andere Kante des Krystalles als harmonische Vielfachensumme
jener Kanten in Bezug auf jene Ebene rational ausdrücken."

Dies Gesetz ist dadurch interessant, dass es die Beziehung der
Richtungen (ohne Rücksicht auf hypothetische Masswerthe) rein
ausdrückt. Eben so ergiebt sich leicht, da die Flächen ab, bc, ca
mit der Kante a + b + c gleiches Produkt liefern, der Satz:

"Nimmt man drei Flächen einer Krystallgestalt und eine Kante
desselben (ohne dass die Kombination der 3 Flächen oder der
Kante mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede an-
dere Fläche des Krystalles als harmonische Vielfachensumme
jener Flächen in Bezug auf jene Kante rational darstellen."

Da die sämmtlichen Ausdehnungsgrössen im Raume als Elementar-
grössen, die der unendlich entfernten Ebene angehören, aufgefasst
werden können, so werden die Abschattungen auf irgend eine
Grundebene nach irgend einem Leitpunkte, ein dem ersteren affi-
nes System darstellen, und also zwischen ihnen genau dieselben
Gleichungen stattfinden, wie zwischen den abgeschatteten Grössen,
und umgekehrt jede Gleichung, welche zwischen den Abschattun-
gen stattfindet, wird auch zwischen den abgeschatteten Grössen
stattfinden; und der Verein dieser Abschattungen wird daher alle
in der Krystallgestalt herrschenden Beziehungen vollkommen treu
darstellen; die Krystallflächen werden durch Liniengrössen, die
Krystallkanten durch Punktgrössen, oder sofern beide bloss ihren
Richtungen nach gegeben waren, durch Linien und Punkte darge-
stellt sein. Diese Darstellung in der Ebene, da sie alles, was bei
den Krystallgestalten als wesentliches vorkommt, rein und treu

§ 171 Anwendung auf die Krystallgestalten.
ihre Durchschnitte mit irgend einer Krystallfläche setzt, so
lässt sich jede andere Kante des Krystalles als Vielfachen-
summe dieser Strecken rational ausdrücken.“

Da die hindurchgelegte Ebene D mit den drei Kanten a, b, c glei-
che Produkte liefert, so wird man auch jede Grösse p, welche als
Vielfachensumme von a, b, c dargestellt ist, als harmonische Viel-
fachensumme von a, b, c in Bezug auf D darstellen können. So-
mit hat man den Satz:

„Nimmt man 3 Kanten . einer Krystallgestalt und eine Fläche
desselben, (ohne dass die Kombination der 3 Kanten, oder
der Fläche mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede
andere Kante des Krystalles als harmonische Vielfachensumme
jener Kanten in Bezug auf jene Ebene rational ausdrücken.“

Dies Gesetz ist dadurch interessant, dass es die Beziehung der
Richtungen (ohne Rücksicht auf hypothetische Masswerthe) rein
ausdrückt. Eben so ergiebt sich leicht, da die Flächen ab, bc, ca
mit der Kante a + b + c gleiches Produkt liefern, der Satz:

„Nimmt man drei Flächen einer Krystallgestalt und eine Kante
desselben (ohne dass die Kombination der 3 Flächen oder der
Kante mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede an-
dere Fläche des Krystalles als harmonische Vielfachensumme
jener Flächen in Bezug auf jene Kante rational darstellen.“

Da die sämmtlichen Ausdehnungsgrössen im Raume als Elementar-
grössen, die der unendlich entfernten Ebene angehören, aufgefasst
werden können, so werden die Abschattungen auf irgend eine
Grundebene nach irgend einem Leitpunkte, ein dem ersteren affi-
nes System darstellen, und also zwischen ihnen genau dieselben
Gleichungen stattfinden, wie zwischen den abgeschatteten Grössen,
und umgekehrt jede Gleichung, welche zwischen den Abschattun-
gen stattfindet, wird auch zwischen den abgeschatteten Grössen
stattfinden; und der Verein dieser Abschattungen wird daher alle
in der Krystallgestalt herrschenden Beziehungen vollkommen treu
darstellen; die Krystallflächen werden durch Liniengrössen, die
Krystallkanten durch Punktgrössen, oder sofern beide bloss ihren
Richtungen nach gegeben waren, durch Linien und Punkte darge-
stellt sein. Diese Darstellung in der Ebene, da sie alles, was bei
den Krystallgestalten als wesentliches vorkommt, rein und treu

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[265/0301] § 171 Anwendung auf die Krystallgestalten. ihre Durchschnitte mit irgend einer Krystallfläche setzt, so lässt sich jede andere Kante des Krystalles als Vielfachen- summe dieser Strecken rational ausdrücken.“ Da die hindurchgelegte Ebene D mit den drei Kanten a, b, c glei- che Produkte liefert, so wird man auch jede Grösse p, welche als Vielfachensumme von a, b, c dargestellt ist, als harmonische Viel- fachensumme von a, b, c in Bezug auf D darstellen können. So- mit hat man den Satz: „Nimmt man 3 Kanten . einer Krystallgestalt und eine Fläche desselben, (ohne dass die Kombination der 3 Kanten, oder der Fläche mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede andere Kante des Krystalles als harmonische Vielfachensumme jener Kanten in Bezug auf jene Ebene rational ausdrücken.“ Dies Gesetz ist dadurch interessant, dass es die Beziehung der Richtungen (ohne Rücksicht auf hypothetische Masswerthe) rein ausdrückt. Eben so ergiebt sich leicht, da die Flächen ab, bc, ca mit der Kante a + b + c gleiches Produkt liefern, der Satz: „Nimmt man drei Flächen einer Krystallgestalt und eine Kante desselben (ohne dass die Kombination der 3 Flächen oder der Kante mit einer derselben null giebt), so lässt sich jede an- dere Fläche des Krystalles als harmonische Vielfachensumme jener Flächen in Bezug auf jene Kante rational darstellen.“ Da die sämmtlichen Ausdehnungsgrössen im Raume als Elementar- grössen, die der unendlich entfernten Ebene angehören, aufgefasst werden können, so werden die Abschattungen auf irgend eine Grundebene nach irgend einem Leitpunkte, ein dem ersteren affi- nes System darstellen, und also zwischen ihnen genau dieselben Gleichungen stattfinden, wie zwischen den abgeschatteten Grössen, und umgekehrt jede Gleichung, welche zwischen den Abschattun- gen stattfindet, wird auch zwischen den abgeschatteten Grössen stattfinden; und der Verein dieser Abschattungen wird daher alle in der Krystallgestalt herrschenden Beziehungen vollkommen treu darstellen; die Krystallflächen werden durch Liniengrössen, die Krystallkanten durch Punktgrössen, oder sofern beide bloss ihren Richtungen nach gegeben waren, durch Linien und Punkte darge- stellt sein. Diese Darstellung in der Ebene, da sie alles, was bei den Krystallgestalten als wesentliches vorkommt, rein und treu

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 265. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/301>, abgerufen am 03.05.2024.