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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 169
eine Glied jener Kombination mit den harmonischen Systemen
kombinirt, das andere als Polsystem setzt, alles übrige aber
unverändert lässt."

Um die Allgemeinheit dieses Satzes und den Reichthum der Bezie-
hungen zu übersehen, welchen er in sich fasst, haben wir auch
diejenigen harmonischen Gleichungen in Betracht zu ziehen, welche
nicht in reiner Form erscheinen.

§ 169. Ist die Gleichung
[Formel 1] mit den Bedingungsgleichungen
[Formel 2] gegeben, und sind die Produkte PA u. s. w. eingewandte: so lässt
sich die harmonische Gleichung, welche daraus hervorgeht, in rei-
ner Form darstellen. In der That, wenn E das System darstellt,
welches den Faktoren eines jeden dieser Produkte gemeinschaftlich
ist, so wird P sich als äusseres Produkt in der Form QE darstel-
len lassen, und man hat
[Formel 3] also gehen die Bedingungsgleichungen über in
[Formel 4] oder, da E dem QA etc. untergeordnet ist, in
[Formel 5] wo QA u. s. w. äussere Produkte sind; und die Gleichung ist also
auch harmonisch in Bezug auf Q, d. h.
[Formel 6] und sie ist nun in reiner Form dargestellt. Also "eine unreine
harmonische Gleichung bietet stets ein System (E) dar, welches
den sämmtlichen harmonischen Systemen und dem Polsysteme der-
selben (P) gemeinschaftlich ist, und man kann die Gleichung in
reiner Form darstellen, indem man als Polsystem irgend ein Sy-
stem (Q) setzt, dessen äussere Kombination mit jenem gemein-
schaftlichen Systeme (E) das ursprüngliche Polsystem (P) liefert."

Da man nun aus den zuletzt gefundenen Bedingungsglei-
chungen
[Formel 7] für den Fall, dass A, B, ... das gemeinschaftliche System E haben,

Verwandtschaftsbeziehungen. § 169
eine Glied jener Kombination mit den harmonischen Systemen
kombinirt, das andere als Polsystem setzt, alles übrige aber
unverändert lässt.“

Um die Allgemeinheit dieses Satzes und den Reichthum der Bezie-
hungen zu übersehen, welchen er in sich fasst, haben wir auch
diejenigen harmonischen Gleichungen in Betracht zu ziehen, welche
nicht in reiner Form erscheinen.

§ 169. Ist die Gleichung
[Formel 1] mit den Bedingungsgleichungen
[Formel 2] gegeben, und sind die Produkte PA u. s. w. eingewandte: so lässt
sich die harmonische Gleichung, welche daraus hervorgeht, in rei-
ner Form darstellen. In der That, wenn E das System darstellt,
welches den Faktoren eines jeden dieser Produkte gemeinschaftlich
ist, so wird P sich als äusseres Produkt in der Form QE darstel-
len lassen, und man hat
[Formel 3] also gehen die Bedingungsgleichungen über in
[Formel 4] oder, da E dem QA etc. untergeordnet ist, in
[Formel 5] wo QA u. s. w. äussere Produkte sind; und die Gleichung ist also
auch harmonisch in Bezug auf Q, d. h.
[Formel 6] und sie ist nun in reiner Form dargestellt. Also „eine unreine
harmonische Gleichung bietet stets ein System (E) dar, welches
den sämmtlichen harmonischen Systemen und dem Polsysteme der-
selben (P) gemeinschaftlich ist, und man kann die Gleichung in
reiner Form darstellen, indem man als Polsystem irgend ein Sy-
stem (Q) setzt, dessen äussere Kombination mit jenem gemein-
schaftlichen Systeme (E) das ursprüngliche Polsystem (P) liefert.“

Da man nun aus den zuletzt gefundenen Bedingungsglei-
chungen
[Formel 7] für den Fall, dass A, B, ... das gemeinschaftliche System E haben,

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[258/0294] Verwandtschaftsbeziehungen. § 169 eine Glied jener Kombination mit den harmonischen Systemen kombinirt, das andere als Polsystem setzt, alles übrige aber unverändert lässt.“ Um die Allgemeinheit dieses Satzes und den Reichthum der Bezie- hungen zu übersehen, welchen er in sich fasst, haben wir auch diejenigen harmonischen Gleichungen in Betracht zu ziehen, welche nicht in reiner Form erscheinen. § 169. Ist die Gleichung [FORMEL] mit den Bedingungsgleichungen [FORMEL] gegeben, und sind die Produkte PA u. s. w. eingewandte: so lässt sich die harmonische Gleichung, welche daraus hervorgeht, in rei- ner Form darstellen. In der That, wenn E das System darstellt, welches den Faktoren eines jeden dieser Produkte gemeinschaftlich ist, so wird P sich als äusseres Produkt in der Form QE darstel- len lassen, und man hat [FORMEL] also gehen die Bedingungsgleichungen über in [FORMEL] oder, da E dem QA etc. untergeordnet ist, in [FORMEL] wo QA u. s. w. äussere Produkte sind; und die Gleichung ist also auch harmonisch in Bezug auf Q, d. h. [FORMEL] und sie ist nun in reiner Form dargestellt. Also „eine unreine harmonische Gleichung bietet stets ein System (E) dar, welches den sämmtlichen harmonischen Systemen und dem Polsysteme der- selben (P) gemeinschaftlich ist, und man kann die Gleichung in reiner Form darstellen, indem man als Polsystem irgend ein Sy- stem (Q) setzt, dessen äussere Kombination mit jenem gemein- schaftlichen Systeme (E) das ursprüngliche Polsystem (P) liefert.“ Da man nun aus den zuletzt gefundenen Bedingungsglei- chungen [FORMEL] für den Fall, dass A, B, ... das gemeinschaftliche System E haben,

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 258. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/294>, abgerufen am 13.05.2024.