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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 169 Umwandlung des Polsystems einer harm. Gleichung.
und wenn E1 dem E untergeordnet ist, die neuen Bedingungsglei-
chungen
[Formel 1] oder, da E1 auch dem A, B, ... untergeordnet ist, die Bedingungs-
gleichungen
[Formel 2] ableiten kann, so folgt, dass dieselbe Gleichung auch noch harmo-
nisch ist in Bezug auf QE1 . Daraus folgt, dass man in einer rei-
nen harmonischen Gleichung das Polsystem mit einem Systeme,
welches allen harmonischen Systemen untergeordnet ist, kombi-
niren, und diese Kombination als Polsystem setzen kann, oder all-
gemeiner

"Wenn die harmonischen Systeme einer Gleichung ein System
von geltender Stufe gemeinschaftlich haben, so kann man das
Polsystem beliebig ändern, wenn nur dasjenige System, wel-
ches jenes gemeinschaftliche System und dieses Polsystem zu-
nächst umfasst, dasselbe bleibt."

Nehmen wir ferner an, dass in einer reinen harmonischen Glei-
chung das Polsystem demjenigen Systeme R, was die sämmtlichen
harmonischen Systeme zunächst umfasst, nicht untergeordnet sei,
sondern mit ihm nur ein System E gemeinschaftlich habe, und sich
also in der Form QE darstellen lasse, wo Q von jenem nächstum-
fassenden Systeme unabhängig ist, so kann man statt der Bedin-
gungsgleichungen
[Formel 3] auch, da Q von dem Systeme, welches die Faktoren EA, EB, ...
zunächst umfasst, unabhängig ist, nach § 81 mit Weglassung des
Faktors Q die Gleichungen
[Formel 4] setzen, d. h. die Gleichung ist auch harmonisch in Bezug auf E,
da man nun nach § 138 auch E wieder mit jedem von R unab-
hängigen Systeme äusserlich kombiniren darf, so haben wir den
Satz:

"Man kann in einer reinen harmonischen Gleichung das Pol-
system beliebig in der Art ändern, dass dasjenige System,
welches es mit dem alle harmonischen Systeme zunächst um-
fassenden Systeme gemeinschaftlich hat, dasselbe bleibt."
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§ 169 Umwandlung des Polsystems einer harm. Gleichung.
und wenn E1 dem E untergeordnet ist, die neuen Bedingungsglei-
chungen
[Formel 1] oder, da E1 auch dem A, B, ... untergeordnet ist, die Bedingungs-
gleichungen
[Formel 2] ableiten kann, so folgt, dass dieselbe Gleichung auch noch harmo-
nisch ist in Bezug auf QE1 . Daraus folgt, dass man in einer rei-
nen harmonischen Gleichung das Polsystem mit einem Systeme,
welches allen harmonischen Systemen untergeordnet ist, kombi-
niren, und diese Kombination als Polsystem setzen kann, oder all-
gemeiner

„Wenn die harmonischen Systeme einer Gleichung ein System
von geltender Stufe gemeinschaftlich haben, so kann man das
Polsystem beliebig ändern, wenn nur dasjenige System, wel-
ches jenes gemeinschaftliche System und dieses Polsystem zu-
nächst umfasst, dasselbe bleibt.“

Nehmen wir ferner an, dass in einer reinen harmonischen Glei-
chung das Polsystem demjenigen Systeme R, was die sämmtlichen
harmonischen Systeme zunächst umfasst, nicht untergeordnet sei,
sondern mit ihm nur ein System E gemeinschaftlich habe, und sich
also in der Form QE darstellen lasse, wo Q von jenem nächstum-
fassenden Systeme unabhängig ist, so kann man statt der Bedin-
gungsgleichungen
[Formel 3] auch, da Q von dem Systeme, welches die Faktoren EA, EB, ...
zunächst umfasst, unabhängig ist, nach § 81 mit Weglassung des
Faktors Q die Gleichungen
[Formel 4] setzen, d. h. die Gleichung ist auch harmonisch in Bezug auf E,
da man nun nach § 138 auch E wieder mit jedem von R unab-
hängigen Systeme äusserlich kombiniren darf, so haben wir den
Satz:

„Man kann in einer reinen harmonischen Gleichung das Pol-
system beliebig in der Art ändern, dass dasjenige System,
welches es mit dem alle harmonischen Systeme zunächst um-
fassenden Systeme gemeinschaftlich hat, dasselbe bleibt.“
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[259/0295] § 169 Umwandlung des Polsystems einer harm. Gleichung. und wenn E1 dem E untergeordnet ist, die neuen Bedingungsglei- chungen [FORMEL] oder, da E1 auch dem A, B, ... untergeordnet ist, die Bedingungs- gleichungen [FORMEL] ableiten kann, so folgt, dass dieselbe Gleichung auch noch harmo- nisch ist in Bezug auf QE1 . Daraus folgt, dass man in einer rei- nen harmonischen Gleichung das Polsystem mit einem Systeme, welches allen harmonischen Systemen untergeordnet ist, kombi- niren, und diese Kombination als Polsystem setzen kann, oder all- gemeiner „Wenn die harmonischen Systeme einer Gleichung ein System von geltender Stufe gemeinschaftlich haben, so kann man das Polsystem beliebig ändern, wenn nur dasjenige System, wel- ches jenes gemeinschaftliche System und dieses Polsystem zu- nächst umfasst, dasselbe bleibt.“ Nehmen wir ferner an, dass in einer reinen harmonischen Glei- chung das Polsystem demjenigen Systeme R, was die sämmtlichen harmonischen Systeme zunächst umfasst, nicht untergeordnet sei, sondern mit ihm nur ein System E gemeinschaftlich habe, und sich also in der Form QE darstellen lasse, wo Q von jenem nächstum- fassenden Systeme unabhängig ist, so kann man statt der Bedin- gungsgleichungen [FORMEL] auch, da Q von dem Systeme, welches die Faktoren EA, EB, ... zunächst umfasst, unabhängig ist, nach § 81 mit Weglassung des Faktors Q die Gleichungen [FORMEL] setzen, d. h. die Gleichung ist auch harmonisch in Bezug auf E, da man nun nach § 138 auch E wieder mit jedem von R unab- hängigen Systeme äusserlich kombiniren darf, so haben wir den Satz: „Man kann in einer reinen harmonischen Gleichung das Pol- system beliebig in der Art ändern, dass dasjenige System, welches es mit dem alle harmonischen Systeme zunächst um- fassenden Systeme gemeinschaftlich hat, dasselbe bleibt.“ 17*

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 259. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/295>, abgerufen am 13.05.2024.