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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 168 Umformung harmonischer Gleichungen.
systeme der ursprünglichen Gleichung unabhängig ist, ohne dass
die Gleichung aufhört eine harmonische zu sein. Denn wenn
[Formel 1] und
[Formel 2] ist, so ist klar, dass, wenn L von PA unabhängig ist und PA, wie
wir voraussetzten, ein äusseres Produkt ist, auch
[Formel 3] sei, also auch LP als Polsystem angenommen werden könne, dass
ferner
[Formel 4] und
[Formel 5] sei, also diese mit L kombinirte Gleichung noch in Bezug auf das-
selbe Polsystem P eine harmonische sei. Ohne Vergleich wichti-
ger als diese Umwandlungen sind diejenigen, bei welchen man
nicht aus dem Hauptsysteme der ursprünglichen Gleichung heraus-
geht. Setzt man nämlich P gleich Q . R, sei es nun, das Q . R ein
äusseres, oder dass es ein auf das Hauptsystem der Gleichung be-
zügliches eingewandtes Produkt darstelle, so wird, da P . A als äus-
seres oder auch als eingewandtes Produkt nullter Stufe betrachtet
werden kann, das Produkt Q . R . A (nach § 139) ein reines, also
gleich Q . (R . A) sein. Multiplicirt man daher die ursprüngliche
Gleichung
[Formel 6] zu welcher die Bedingungsgleichungen
[Formel 7] oder
[Formel 8] gehören, mit R, so erhält man
[Formel 9] welche vermöge der Bedingungsgleichungen in Bezug auf Q har-
monisch ist. Also

"Stellt man das Polsystem einer reinen harmonischen Glei-
chung als Kombination dar, sei es als äussere, oder als ein-
gewandte auf das Hauptsystem der Gleichung bezügliche: so
bleibt die Gleichung eine reine harmonische, wenn man das
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§ 168 Umformung harmonischer Gleichungen.
systeme der ursprünglichen Gleichung unabhängig ist, ohne dass
die Gleichung aufhört eine harmonische zu sein. Denn wenn
[Formel 1] und
[Formel 2] ist, so ist klar, dass, wenn L von PA unabhängig ist und PA, wie
wir voraussetzten, ein äusseres Produkt ist, auch
[Formel 3] sei, also auch LP als Polsystem angenommen werden könne, dass
ferner
[Formel 4] und
[Formel 5] sei, also diese mit L kombinirte Gleichung noch in Bezug auf das-
selbe Polsystem P eine harmonische sei. Ohne Vergleich wichti-
ger als diese Umwandlungen sind diejenigen, bei welchen man
nicht aus dem Hauptsysteme der ursprünglichen Gleichung heraus-
geht. Setzt man nämlich P gleich Q . R, sei es nun, das Q . R ein
äusseres, oder dass es ein auf das Hauptsystem der Gleichung be-
zügliches eingewandtes Produkt darstelle, so wird, da P . A als äus-
seres oder auch als eingewandtes Produkt nullter Stufe betrachtet
werden kann, das Produkt Q . R . A (nach § 139) ein reines, also
gleich Q . (R . A) sein. Multiplicirt man daher die ursprüngliche
Gleichung
[Formel 6] zu welcher die Bedingungsgleichungen
[Formel 7] oder
[Formel 8] gehören, mit R, so erhält man
[Formel 9] welche vermöge der Bedingungsgleichungen in Bezug auf Q har-
monisch ist. Also

„Stellt man das Polsystem einer reinen harmonischen Glei-
chung als Kombination dar, sei es als äussere, oder als ein-
gewandte auf das Hauptsystem der Gleichung bezügliche: so
bleibt die Gleichung eine reine harmonische, wenn man das
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[257/0293] § 168 Umformung harmonischer Gleichungen. systeme der ursprünglichen Gleichung unabhängig ist, ohne dass die Gleichung aufhört eine harmonische zu sein. Denn wenn [FORMEL] und [FORMEL] ist, so ist klar, dass, wenn L von PA unabhängig ist und PA, wie wir voraussetzten, ein äusseres Produkt ist, auch [FORMEL] sei, also auch LP als Polsystem angenommen werden könne, dass ferner [FORMEL] und [FORMEL] sei, also diese mit L kombinirte Gleichung noch in Bezug auf das- selbe Polsystem P eine harmonische sei. Ohne Vergleich wichti- ger als diese Umwandlungen sind diejenigen, bei welchen man nicht aus dem Hauptsysteme der ursprünglichen Gleichung heraus- geht. Setzt man nämlich P gleich Q . R, sei es nun, das Q . R ein äusseres, oder dass es ein auf das Hauptsystem der Gleichung be- zügliches eingewandtes Produkt darstelle, so wird, da P . A als äus- seres oder auch als eingewandtes Produkt nullter Stufe betrachtet werden kann, das Produkt Q . R . A (nach § 139) ein reines, also gleich Q . (R . A) sein. Multiplicirt man daher die ursprüngliche Gleichung [FORMEL] zu welcher die Bedingungsgleichungen [FORMEL] oder [FORMEL] gehören, mit R, so erhält man [FORMEL] welche vermöge der Bedingungsgleichungen in Bezug auf Q har- monisch ist. Also „Stellt man das Polsystem einer reinen harmonischen Glei- chung als Kombination dar, sei es als äussere, oder als ein- gewandte auf das Hauptsystem der Gleichung bezügliche: so bleibt die Gleichung eine reine harmonische, wenn man das 17

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 257. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/293>, abgerufen am 25.11.2024.