Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Verwandtschaftsbeziehungen. § 167 oder Nennern gemeinschaftlich sind, können in den Gliedern belie-big oft vorkommen, wenn nur in allen gleich oft. Die einfachste Form einer solchen Gleichung ist daher [Formel 1] wo a, b, ... Zahlengrössen vorstellen, und wobei wir, damit die Gleichung einen bestimmten Sinn gewinne, annehmen müssen, dass die Nenner PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne null zu werden. Setzen wir dies voraus, und nehmen wir Q gleich der Einheit, wodurch die Gleichung übergeht in [Formel 2] so nennen wir dieselbe eine harmonische Gleichung, a, b, ... die harmonischen Koefficienten (harm. Gewichte), die Systeme von A, B, ... die harmonischen Systeme, P das Polsystem. Verstehen wir unter A, B, ... blosse Systeme, so schreiben wir die Gleichung auch so: [Formel 3] und sagen, der Ausdruck aA + bB + ... sei in Bezug auf P gleich null. Die Bedingung, dass die Grössen PA, PB .... alle einander gleichartig sein müssen, ohne null zu werden, können wir auch so ausdrücken, dass für alle diese Produkte das nächstumfassende Sy- stem und das gemeinschaftliche System der Faktoren dieselben sein müssen. Wenn das nächstumfassende System in allen das- selbe sein soll, so heisst das, es muss dasselbe zusammenfallen mit demjenigen Systeme, was die sämmtlichen Grössen P, A, B, .... zu- nächst umfasst, d. h. mit dem Hauptsysteme der Gleichung. Wenn das gemeinschaftliche System in einem jener Produkte, also auch in allen von nullter Stufe ist, so sind die Produkte äussere, und dann, aber auch nur dann sind die Werthe der Quotienten [Formel 4] u. s. w. bestimmte Grössen (§ 141). In diesem Falle nennen wir die harmonische Gleichung eine harmonische von reiner Form. Aber obgleich in dem andern Falle die Quotienten [Formel 5] nur partiell bestimmte Werthe darstellen, so behält die harmonische Gleichung Verwandtschaftsbeziehungen. § 167 oder Nennern gemeinschaftlich sind, können in den Gliedern belie-big oft vorkommen, wenn nur in allen gleich oft. Die einfachste Form einer solchen Gleichung ist daher [Formel 1] wo α, β, ... Zahlengrössen vorstellen, und wobei wir, damit die Gleichung einen bestimmten Sinn gewinne, annehmen müssen, dass die Nenner PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne null zu werden. Setzen wir dies voraus, und nehmen wir Q gleich der Einheit, wodurch die Gleichung übergeht in [Formel 2] so nennen wir dieselbe eine harmonische Gleichung, α, β, ... die harmonischen Koefficienten (harm. Gewichte), die Systeme von A, B, ... die harmonischen Systeme, P das Polsystem. Verstehen wir unter A, B, ... blosse Systeme, so schreiben wir die Gleichung auch so: [Formel 3] und sagen, der Ausdruck αA + βB + ... sei in Bezug auf P gleich null. Die Bedingung, dass die Grössen PA, PB .... alle einander gleichartig sein müssen, ohne null zu werden, können wir auch so ausdrücken, dass für alle diese Produkte das nächstumfassende Sy- stem und das gemeinschaftliche System der Faktoren dieselben sein müssen. Wenn das nächstumfassende System in allen das- selbe sein soll, so heisst das, es muss dasselbe zusammenfallen mit demjenigen Systeme, was die sämmtlichen Grössen P, A, B, .... zu- nächst umfasst, d. h. mit dem Hauptsysteme der Gleichung. Wenn das gemeinschaftliche System in einem jener Produkte, also auch in allen von nullter Stufe ist, so sind die Produkte äussere, und dann, aber auch nur dann sind die Werthe der Quotienten [Formel 4] u. s. w. bestimmte Grössen (§ 141). In diesem Falle nennen wir die harmonische Gleichung eine harmonische von reiner Form. Aber obgleich in dem andern Falle die Quotienten [Formel 5] nur partiell bestimmte Werthe darstellen, so behält die harmonische Gleichung <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0290" n="254"/><fw place="top" type="header">Verwandtschaftsbeziehungen. § 167</fw><lb/> oder Nennern gemeinschaftlich sind, können in den Gliedern belie-<lb/> big oft vorkommen, wenn nur in allen gleich oft. Die einfachste<lb/> Form einer solchen Gleichung ist daher<lb/><formula/> wo α, β, ... Zahlengrössen vorstellen, und wobei wir, damit die<lb/> Gleichung einen bestimmten Sinn gewinne, annehmen müssen, dass<lb/> die Nenner PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne null zu<lb/> werden. Setzen wir dies voraus, und nehmen wir Q gleich der<lb/> Einheit, wodurch die Gleichung übergeht in<lb/><formula/> so nennen wir dieselbe eine <hi rendition="#g">harmonische</hi> Gleichung, α, β, ...<lb/> die harmonischen Koefficienten (harm. Gewichte), die Systeme von<lb/> A, B, ... die harmonischen Systeme, P das Polsystem. Verstehen<lb/> wir unter A, B, ... blosse Systeme, so schreiben wir die Gleichung<lb/> auch so:<lb/><formula/> und sagen, der Ausdruck αA + βB + ... sei in Bezug auf P gleich<lb/> null. Die Bedingung, dass die Grössen PA, PB .... alle einander<lb/> gleichartig sein müssen, ohne null zu werden, können wir auch so<lb/> ausdrücken, dass für alle diese Produkte das nächstumfassende Sy-<lb/> stem und das gemeinschaftliche System der Faktoren dieselben<lb/> sein müssen. Wenn das nächstumfassende System in allen das-<lb/> selbe sein soll, so heisst das, es muss dasselbe zusammenfallen mit<lb/> demjenigen Systeme, was die sämmtlichen Grössen P, A, B, .... zu-<lb/> nächst umfasst, d. h. mit dem Hauptsysteme der Gleichung. Wenn<lb/> das gemeinschaftliche System in einem jener Produkte, also auch<lb/> in allen von nullter Stufe ist, so sind die Produkte äussere, und<lb/> dann, aber auch nur dann sind die Werthe der Quotienten <formula/><lb/> u. s. w. bestimmte Grössen (§ 141). In diesem Falle nennen wir<lb/> die harmonische Gleichung eine harmonische von reiner Form.<lb/> Aber obgleich in dem andern Falle die Quotienten <formula/> nur partiell<lb/> bestimmte Werthe darstellen, so behält die harmonische Gleichung<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [254/0290]
Verwandtschaftsbeziehungen. § 167
oder Nennern gemeinschaftlich sind, können in den Gliedern belie-
big oft vorkommen, wenn nur in allen gleich oft. Die einfachste
Form einer solchen Gleichung ist daher
[FORMEL] wo α, β, ... Zahlengrössen vorstellen, und wobei wir, damit die
Gleichung einen bestimmten Sinn gewinne, annehmen müssen, dass
die Nenner PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne null zu
werden. Setzen wir dies voraus, und nehmen wir Q gleich der
Einheit, wodurch die Gleichung übergeht in
[FORMEL] so nennen wir dieselbe eine harmonische Gleichung, α, β, ...
die harmonischen Koefficienten (harm. Gewichte), die Systeme von
A, B, ... die harmonischen Systeme, P das Polsystem. Verstehen
wir unter A, B, ... blosse Systeme, so schreiben wir die Gleichung
auch so:
[FORMEL] und sagen, der Ausdruck αA + βB + ... sei in Bezug auf P gleich
null. Die Bedingung, dass die Grössen PA, PB .... alle einander
gleichartig sein müssen, ohne null zu werden, können wir auch so
ausdrücken, dass für alle diese Produkte das nächstumfassende Sy-
stem und das gemeinschaftliche System der Faktoren dieselben
sein müssen. Wenn das nächstumfassende System in allen das-
selbe sein soll, so heisst das, es muss dasselbe zusammenfallen mit
demjenigen Systeme, was die sämmtlichen Grössen P, A, B, .... zu-
nächst umfasst, d. h. mit dem Hauptsysteme der Gleichung. Wenn
das gemeinschaftliche System in einem jener Produkte, also auch
in allen von nullter Stufe ist, so sind die Produkte äussere, und
dann, aber auch nur dann sind die Werthe der Quotienten [FORMEL]
u. s. w. bestimmte Grössen (§ 141). In diesem Falle nennen wir
die harmonische Gleichung eine harmonische von reiner Form.
Aber obgleich in dem andern Falle die Quotienten [FORMEL] nur partiell
bestimmte Werthe darstellen, so behält die harmonische Gleichung
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/290 |
| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 254. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/290>, abgerufen am 12.05.2024. |
