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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 166--167 Doppelquotienten. -- Projektion und Abschattung.

§ 166. Wie sich nun die Kollineation zur Affinität verhält,
so verhält sich die Projektion zur Abschattung, indem, wie wir oben
zeigten, bei Elementargrössen das System der Abschattung die
Projektion darstellte. Es werden also auch alle Grundgleichungen,
welche von dem Masswerthe ihrer Grössen unabhängig sind, be-
stehen bleiben, wenn man statt der Grössen ihre Projektionen setzt;
namentlich werden auch jene Doppelquotienten bei der Projektion
denselben Werth beibehalten. Wie ferner die durch Abschattung
aus einander erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Affinität
darstellten, so werden nun auch die durch Projektion aus einander
erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Kollineation darstellen,
und zwar können wir, wenn wir die durch Projektion aus einander
erzeugbaren Vereine perspektivische nennen, den Satz aufstellen:

"Zwei kollineare Vereine sind dann und nur dann perspekti-
visch, wenn in dem Durchschnitte der beiden Systeme, dem
jene Vereine angehören, je zwei entsprechende Punkte zusam-
menfallen, und der Sinn der Projektion ist dann bestimmt."

Dieser Satz ist eben nur eine Uebertragung des in § 158 für die
Abschattung aufgestellten Satzes. Namentlich folgt daraus auch,
dass zwei kollineare Linien, welche nicht in Einer Ebene liegen,
stets perspektivisch sind, weil sie sich nicht schneiden. Endlich
wird in demselben Falle, in welchem die kollinearen Vereine zu-
gleich affin werden, die Projektion mit der Abschattung identisch
werden; nämlich wenn die Abschattung und die abgeschattete Grösse
Punkte oder überhaupt Elementargrössen erster Stufe mit gleichen
Gewichten darstellen. Dies wird der Fall sein, wenn das Leit-
system ein Ausdehnungssystem ist (oder anders ausgedrückt, als
Elementarsystem ins Unendliche fällt). Dieser Fall trat im ersten
Abschnitte (§ 82) ein, weshalb dort Projektion und Abschattung zu-
sammenfielen.

§ 167. Fragen wir überhaupt danach, welche Gleichungen
unabhängig sind von dem Masswerthe der Grössen geltender Stufe,
die darin vorkommen, und welche also in der Projektion und über-
haupt in der Kollineation bestehen bleiben, so sind es diejenigen,
bei welchen jede Grösse von geltender Stufe in demselben Gliede
eben so oft als Faktor des Nenners vorkommt, wie als Faktor des
Zählers, und nur diejenigen Faktoren, welche sämmtlichen Zählern

§ 166—167 Doppelquotienten. — Projektion und Abschattung.

§ 166. Wie sich nun die Kollineation zur Affinität verhält,
so verhält sich die Projektion zur Abschattung, indem, wie wir oben
zeigten, bei Elementargrössen das System der Abschattung die
Projektion darstellte. Es werden also auch alle Grundgleichungen,
welche von dem Masswerthe ihrer Grössen unabhängig sind, be-
stehen bleiben, wenn man statt der Grössen ihre Projektionen setzt;
namentlich werden auch jene Doppelquotienten bei der Projektion
denselben Werth beibehalten. Wie ferner die durch Abschattung
aus einander erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Affinität
darstellten, so werden nun auch die durch Projektion aus einander
erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Kollineation darstellen,
und zwar können wir, wenn wir die durch Projektion aus einander
erzeugbaren Vereine perspektivische nennen, den Satz aufstellen:

„Zwei kollineare Vereine sind dann und nur dann perspekti-
visch, wenn in dem Durchschnitte der beiden Systeme, dem
jene Vereine angehören, je zwei entsprechende Punkte zusam-
menfallen, und der Sinn der Projektion ist dann bestimmt.“

Dieser Satz ist eben nur eine Uebertragung des in § 158 für die
Abschattung aufgestellten Satzes. Namentlich folgt daraus auch,
dass zwei kollineare Linien, welche nicht in Einer Ebene liegen,
stets perspektivisch sind, weil sie sich nicht schneiden. Endlich
wird in demselben Falle, in welchem die kollinearen Vereine zu-
gleich affin werden, die Projektion mit der Abschattung identisch
werden; nämlich wenn die Abschattung und die abgeschattete Grösse
Punkte oder überhaupt Elementargrössen erster Stufe mit gleichen
Gewichten darstellen. Dies wird der Fall sein, wenn das Leit-
system ein Ausdehnungssystem ist (oder anders ausgedrückt, als
Elementarsystem ins Unendliche fällt). Dieser Fall trat im ersten
Abschnitte (§ 82) ein, weshalb dort Projektion und Abschattung zu-
sammenfielen.

§ 167. Fragen wir überhaupt danach, welche Gleichungen
unabhängig sind von dem Masswerthe der Grössen geltender Stufe,
die darin vorkommen, und welche also in der Projektion und über-
haupt in der Kollineation bestehen bleiben, so sind es diejenigen,
bei welchen jede Grösse von geltender Stufe in demselben Gliede
eben so oft als Faktor des Nenners vorkommt, wie als Faktor des
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[253/0289] § 166—167 Doppelquotienten. — Projektion und Abschattung. § 166. Wie sich nun die Kollineation zur Affinität verhält, so verhält sich die Projektion zur Abschattung, indem, wie wir oben zeigten, bei Elementargrössen das System der Abschattung die Projektion darstellte. Es werden also auch alle Grundgleichungen, welche von dem Masswerthe ihrer Grössen unabhängig sind, be- stehen bleiben, wenn man statt der Grössen ihre Projektionen setzt; namentlich werden auch jene Doppelquotienten bei der Projektion denselben Werth beibehalten. Wie ferner die durch Abschattung aus einander erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Affinität darstellten, so werden nun auch die durch Projektion aus einander erzeugbaren Vereine eine besondere Art der Kollineation darstellen, und zwar können wir, wenn wir die durch Projektion aus einander erzeugbaren Vereine perspektivische nennen, den Satz aufstellen: „Zwei kollineare Vereine sind dann und nur dann perspekti- visch, wenn in dem Durchschnitte der beiden Systeme, dem jene Vereine angehören, je zwei entsprechende Punkte zusam- menfallen, und der Sinn der Projektion ist dann bestimmt.“ Dieser Satz ist eben nur eine Uebertragung des in § 158 für die Abschattung aufgestellten Satzes. Namentlich folgt daraus auch, dass zwei kollineare Linien, welche nicht in Einer Ebene liegen, stets perspektivisch sind, weil sie sich nicht schneiden. Endlich wird in demselben Falle, in welchem die kollinearen Vereine zu- gleich affin werden, die Projektion mit der Abschattung identisch werden; nämlich wenn die Abschattung und die abgeschattete Grösse Punkte oder überhaupt Elementargrössen erster Stufe mit gleichen Gewichten darstellen. Dies wird der Fall sein, wenn das Leit- system ein Ausdehnungssystem ist (oder anders ausgedrückt, als Elementarsystem ins Unendliche fällt). Dieser Fall trat im ersten Abschnitte (§ 82) ein, weshalb dort Projektion und Abschattung zu- sammenfielen. § 167. Fragen wir überhaupt danach, welche Gleichungen unabhängig sind von dem Masswerthe der Grössen geltender Stufe, die darin vorkommen, und welche also in der Projektion und über- haupt in der Kollineation bestehen bleiben, so sind es diejenigen, bei welchen jede Grösse von geltender Stufe in demselben Gliede eben so oft als Faktor des Nenners vorkommt, wie als Faktor des Zählers, und nur diejenigen Faktoren, welche sämmtlichen Zählern

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 253. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/289>, abgerufen am 13.05.2024.