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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 167 Harmonische Gleichungen u. Koefficienten.
dennoch auch dann ihre bestimmte Bedeutung, welche wir nun auf-
suchen wollen. Da PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne
null zu werden, so müssen sich solche Masswerthe von A, B ....
annehmen lassen, dass
[Formel 1] ist; dann wird die Gleichung in der Form
[Formel 2] erscheinen, woraus man durch Multiplikation mit PA die absolute
Gleichung
[Formel 3] erhält. Multiplicirt man diese Gleichung mit P, so erhält man
[Formel 4] , d. h.
oder

"in einer harmonischen Gleichung ist die Summe der harmo-
nischen Koefficienten auf beiden Seiten gleich."

Zugleich erhält man hierdurch ein Mittel, um den Werth sS, wel-
cher der Gleichung
[Formel 5] genügt, zu konstruiren, d. h. den harmonischen Koefficienten und das
harmonische System dieses Gliedes zu finden; nämlich erstens ist
[Formel 6] zweitens ist, wenn A, B, .... so gross gemacht sind, dass die Pro-
dukte mit P einander gleich sind, und auch S in solcher Grösse
angenommen wird, nach dem vorigen
[Formel 7] oder
[Formel 8] wodurch S selbst, wenn nicht etwa s null ist*), bestimmt, also

*) Ist s null, und auch aA + bB + ... = 0, so ist S gänzlich unbestimmt,
wie dies auch in der Idee der harmonischen Gleichung liegt. Ist s null und aA
+ bB + ... stellt einen geltenden Werth dar, so giebt es keinen (endlichen)
Werth von S, welcher der Gleichung genügt; da dann auch (aA + bB + ....) P

§ 167 Harmonische Gleichungen u. Koefficienten.
dennoch auch dann ihre bestimmte Bedeutung, welche wir nun auf-
suchen wollen. Da PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne
null zu werden, so müssen sich solche Masswerthe von A, B ....
annehmen lassen, dass
[Formel 1] ist; dann wird die Gleichung in der Form
[Formel 2] erscheinen, woraus man durch Multiplikation mit PA die absolute
Gleichung
[Formel 3] erhält. Multiplicirt man diese Gleichung mit P, so erhält man
[Formel 4] , d. h.
oder

„in einer harmonischen Gleichung ist die Summe der harmo-
nischen Koefficienten auf beiden Seiten gleich.“

Zugleich erhält man hierdurch ein Mittel, um den Werth σS, wel-
cher der Gleichung
[Formel 5] genügt, zu konstruiren, d. h. den harmonischen Koefficienten und das
harmonische System dieses Gliedes zu finden; nämlich erstens ist
[Formel 6] zweitens ist, wenn A, B, .... so gross gemacht sind, dass die Pro-
dukte mit P einander gleich sind, und auch S in solcher Grösse
angenommen wird, nach dem vorigen
[Formel 7] oder
[Formel 8] wodurch S selbst, wenn nicht etwa σ null ist*), bestimmt, also

*) Ist σ null, und auch αA + βB + ... = 0, so ist S gänzlich unbestimmt,
wie dies auch in der Idee der harmonischen Gleichung liegt. Ist σ null und αA
+ βB + ... stellt einen geltenden Werth dar, so giebt es keinen (endlichen)
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[255/0291] § 167 Harmonische Gleichungen u. Koefficienten. dennoch auch dann ihre bestimmte Bedeutung, welche wir nun auf- suchen wollen. Da PA, PB, .... einander gleichartig sind, ohne null zu werden, so müssen sich solche Masswerthe von A, B .... annehmen lassen, dass [FORMEL] ist; dann wird die Gleichung in der Form [FORMEL] erscheinen, woraus man durch Multiplikation mit PA die absolute Gleichung [FORMEL] erhält. Multiplicirt man diese Gleichung mit P, so erhält man [FORMEL], d. h. oder „in einer harmonischen Gleichung ist die Summe der harmo- nischen Koefficienten auf beiden Seiten gleich.“ Zugleich erhält man hierdurch ein Mittel, um den Werth σS, wel- cher der Gleichung [FORMEL] genügt, zu konstruiren, d. h. den harmonischen Koefficienten und das harmonische System dieses Gliedes zu finden; nämlich erstens ist [FORMEL] zweitens ist, wenn A, B, .... so gross gemacht sind, dass die Pro- dukte mit P einander gleich sind, und auch S in solcher Grösse angenommen wird, nach dem vorigen [FORMEL] oder [FORMEL] wodurch S selbst, wenn nicht etwa σ null ist *), bestimmt, also *) Ist σ null, und auch αA + βB + ... = 0, so ist S gänzlich unbestimmt, wie dies auch in der Idee der harmonischen Gleichung liegt. Ist σ null und αA + βB + ... stellt einen geltenden Werth dar, so giebt es keinen (endlichen) Werth von S, welcher der Gleichung genügt; da dann auch (αA + βB + ....) P

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 255. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/291>, abgerufen am 22.11.2024.