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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 165
tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerth
darstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD
die entsprechenden Grössen A'B'C'D' eines kollinear verwandten Ge-
bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der
Form
[Formel 1] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen
A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg-
lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei-
chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D
die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A', B', C', D' setzt, und
man hat somit
[Formel 2] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie
sind, und a', b', c', d' die entsprechenden,
[Formel 3] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche
mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der-
selben geraden Linie liegen
[Formel 4] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A,
C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist
[Formel 5] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist
[Formel 6] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist
[Formel 7] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem
allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo-
tient eine Zahl darstellen soll.

Verwandtschaftsbeziehungen. § 165
tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerth
darstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD
die entsprechenden Grössen A′B′C′D′ eines kollinear verwandten Ge-
bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der
Form
[Formel 1] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen
A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg-
lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei-
chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D
die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A′, B′, C′, D′ setzt, und
man hat somit
[Formel 2] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie
sind, und a′, b′, c′, d′ die entsprechenden,
[Formel 3] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche
mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der-
selben geraden Linie liegen
[Formel 4] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A,
C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist
[Formel 5] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist
[Formel 6] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist
[Formel 7] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem
allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo-
tient eine Zahl darstellen soll.

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[252/0288] Verwandtschaftsbeziehungen. § 165 tient zwischen vier Grössen A, B, C, D, welcher einen Zahlenwerth darstellt, auch denselben Zahlenwerth behält, wenn man statt ABCD die entsprechenden Grössen A′B′C′D′ eines kollinear verwandten Ge- bildes setzt; nämlich ein solcher Doppelquotient, da er sich in der Form [FORMEL] darstellen lässt, ist unabhängig von dem Masswerthe der 4 Grössen A, B, C, D, weil jede im Zähler und Nenner einmal vorkommt, folg- lich wird, wenn man diesen gleich einer Zahl m setzt, diese Glei- chung auch fortbestehen, wenn man statt der Grösssen A, B, C, D die ihnen kollinear entsprechenden Grössen A′, B′, C′, D′ setzt, und man hat somit [FORMEL] Namentlich hat man, wenn a, b, c, d Punkte einer geraden Linie sind, und a′, b′, c′, d′ die entsprechenden, [FORMEL] Eben so ist, wenn A eine Linie, b, c, d aber Punkte sind, welche mit A in derselben Ebene liegen und selbst unter einander in der- selben geraden Linie liegen [FORMEL] Ferner wenn A und C gerade Linien, b und d Punkte sind, und A, C, b, d in derselben Ebene liegen, so ist [FORMEL] Ferner wenn A und C Ebenen, b und d Punkte sind, so ist [FORMEL] Endlich wenn A, B, C, D Linien im Raume sind, so ist [FORMEL] Die hinzugefügten Bedingungen entsprechen nämlich der in dem allgemeineren Satze hinzugefügten Bedingung, dass der Doppelquo- tient eine Zahl darstellen soll.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 252. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/288>, abgerufen am 13.05.2024.