Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 165 Reciprocität und Affinität. ist, wo m eine Zahl vorstellt, so wird auch nach dem allgemeinenGesetz der Affinität [Formel 1] sein, und nach der Annahme sollten auch a', b', c' Punkte sein, wenn a, b, c es waren. Es fällt somit unser Begriff der Affinität mit dem sonst üblichen Begriff derselben zusammen, sobald er auf dieselben Grössen, nämlich auf blosse Punkte (mit gleichen Ge- wichten) angewandt wird. Die Erzeugung affiner Punktvereine tritt noch klarer hervor, wenn wir Parallelkoordinaten zu Grunde legen, oder nach unserer Benennungsweise, wenn wir zu einem Punkt und zwei Strecken des einen Vereins in dem andern Vereine einen Punkt und zwei Strecken als entsprechende setzen; und dann die entsprechenden Grössen durch gleiche Zeiger erzeugen; dann wird das Gewicht dieser Grössen gleich dem zu jenem Punkte gehörigen Zeiger sein, und also gleich 1 erscheinen, wenn jener Zeiger der Einheit gleich wird. Zieht man somit in dem einen Gebilde von einem Punkte aus zwei Strecken, und in dem andern von dem ent- sprechenden Punkte aus zwei entsprechende Strecken, und setzt diese Strecken als Richtmasse für die Richtstücke der demselben Gebilde zugehörigen Punkte, so haben die entsprechenden Punkte beider Vereine stets gleiche Gewichte; und zugleich sind dadurch aus 3 Paaren entsprechender Punkte alle übrigen entsprechenden Punktenpaare zweier affiner Punktgebilde bestimmt. § 165. Was die metrischen Relationen zweier kollinearen "jede Grundgleichung, welche unabhängig ist von den Mass- Nämlich da man dann diese Masswerthe auch so setzen kann, dass § 165 Reciprocität und Affinität. ist, wo m eine Zahl vorstellt, so wird auch nach dem allgemeinenGesetz der Affinität [Formel 1] sein, und nach der Annahme sollten auch a′, b′, c′ Punkte sein, wenn a, b, c es waren. Es fällt somit unser Begriff der Affinität mit dem sonst üblichen Begriff derselben zusammen, sobald er auf dieselben Grössen, nämlich auf blosse Punkte (mit gleichen Ge- wichten) angewandt wird. Die Erzeugung affiner Punktvereine tritt noch klarer hervor, wenn wir Parallelkoordinaten zu Grunde legen, oder nach unserer Benennungsweise, wenn wir zu einem Punkt und zwei Strecken des einen Vereins in dem andern Vereine einen Punkt und zwei Strecken als entsprechende setzen; und dann die entsprechenden Grössen durch gleiche Zeiger erzeugen; dann wird das Gewicht dieser Grössen gleich dem zu jenem Punkte gehörigen Zeiger sein, und also gleich 1 erscheinen, wenn jener Zeiger der Einheit gleich wird. Zieht man somit in dem einen Gebilde von einem Punkte aus zwei Strecken, und in dem andern von dem ent- sprechenden Punkte aus zwei entsprechende Strecken, und setzt diese Strecken als Richtmasse für die Richtstücke der demselben Gebilde zugehörigen Punkte, so haben die entsprechenden Punkte beider Vereine stets gleiche Gewichte; und zugleich sind dadurch aus 3 Paaren entsprechender Punkte alle übrigen entsprechenden Punktenpaare zweier affiner Punktgebilde bestimmt. § 165. Was die metrischen Relationen zweier kollinearen „jede Grundgleichung, welche unabhängig ist von den Mass- Nämlich da man dann diese Masswerthe auch so setzen kann, dass <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0287" n="251"/><fw place="top" type="header">§ 165 Reciprocität und Affinität.</fw><lb/> ist, wo m eine Zahl vorstellt, so wird auch nach dem allgemeinen<lb/> Gesetz der Affinität<lb/><formula/> sein, und nach der Annahme sollten auch a′, b′, c′ Punkte sein,<lb/> wenn a, b, c es waren. 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§ 165 Reciprocität und Affinität.
ist, wo m eine Zahl vorstellt, so wird auch nach dem allgemeinen
Gesetz der Affinität
[FORMEL] sein, und nach der Annahme sollten auch a′, b′, c′ Punkte sein,
wenn a, b, c es waren. Es fällt somit unser Begriff der Affinität
mit dem sonst üblichen Begriff derselben zusammen, sobald er auf
dieselben Grössen, nämlich auf blosse Punkte (mit gleichen Ge-
wichten) angewandt wird. Die Erzeugung affiner Punktvereine tritt
noch klarer hervor, wenn wir Parallelkoordinaten zu Grunde legen,
oder nach unserer Benennungsweise, wenn wir zu einem Punkt und
zwei Strecken des einen Vereins in dem andern Vereine einen
Punkt und zwei Strecken als entsprechende setzen; und dann die
entsprechenden Grössen durch gleiche Zeiger erzeugen; dann wird
das Gewicht dieser Grössen gleich dem zu jenem Punkte gehörigen
Zeiger sein, und also gleich 1 erscheinen, wenn jener Zeiger der
Einheit gleich wird. Zieht man somit in dem einen Gebilde von
einem Punkte aus zwei Strecken, und in dem andern von dem ent-
sprechenden Punkte aus zwei entsprechende Strecken, und setzt
diese Strecken als Richtmasse für die Richtstücke der demselben
Gebilde zugehörigen Punkte, so haben die entsprechenden Punkte
beider Vereine stets gleiche Gewichte; und zugleich sind dadurch
aus 3 Paaren entsprechender Punkte alle übrigen entsprechenden
Punktenpaare zweier affiner Punktgebilde bestimmt.
§ 165. Was die metrischen Relationen zweier kollinearen
Punktgebilde betrifft, so sind diese auf eine höchst einfache Weise
dadurch ausgedrückt, dass
„jede Grundgleichung, welche unabhängig ist von den Mass-
werthen der darin vorkommenden Grössen, bestehen bleibt,
wenn man statt der Grössen die entsprechenden eines kolli-
nearen Vereines setzt.“
Nämlich da man dann diese Masswerthe auch so setzen kann, dass
beide Vereine von Grössen affin werden, und für affine Grössen-
vereine die Geltung dieses Satzes erwiesen ist, so gilt er nun unter
jener Voraussetzung auch für kollineare Vereine. Eine specielle
Folgerung dieses allgemeinen Satzes, welcher die metrischen Rela-
tionen, welche zwischen kollinearen Gebilden herrschen, in ihrer
ganzen Vollständigkeit umfasst, ist z. B. die, dass jeder Doppelquo-
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